非線形偏微分方程式初期値問題の調和解析

当課題の目的は、より一般の双曲型方程式に対して、半線形初期値問題に関するさまざまな課題(解の存在と一意性が保証されるには、初期データにどこまで正則性が必要であるか?あるいはその解が時間大域的に存在するか?など)を解決することであった。これまでに知られている結果には、空間次元、非線形項、さらには主部に関する制約も多く、解決されるべき問題が残されていたが、今年度の研究により、これらのうち特に主部に関する制約の除去に本質的な進展があった。具体的には、定係数狭義双曲型方程式で特性根が凸の場合、あるいは凸とは限らなくても空間次元が3以下の場合に、以下のような成果が得られた。1.基本解の時間-空間評価:これまで波動方程式の場合にのみ知られていたこの種の評価式を、上記の場合に一般化した。方程式の特性根が持つ幾何学的性質が評価式にデリケ-トに影響していることを発見し、さらにその定式化を、非線形問題への応用の見地から行うことに成功した。2.特異初期データに対する解の構成:上記によって得られた評価式の応用として、2次式を非線形項に持つ場合の初期値問題の解を構成した。従来この問題は、エネルギー不等式とソボレフの補題を組み合わせる古典的な方法により解析されてきたが、ここでの方法が特異初期データを扱う場合に有効であることが再確認された。現在、同様なアプローチをポテンシャル項及び非斉次項を持つ方程式の場合にも行っており、これらの項の評価式に及ぼす影響についても、次第に明らかになってきている。

当課題の目的は、より一般の双曲型方程式に対して、半線形初期値問題に関するさまざまな課題(解の存在と一意性が保証されるには、初期データにどこまで正則性が必要であるか?あるいはその解が時間大域的に存在するか?など)を解決することであった。これまでに知られている結果には、空間次元、非線形項、さらには主部に関する制約も多く、解決されるべき問題が残されていたが、今年度の研究により、これらのうち特に主部に関する制約の除去に本質的な進展があった。具体的には、定係数狭義双曲型方程式で特性根が凸の場合、あるいは凸とは限らなくても空間次元が3以下の場合に、以下のような成果が得られた。1.基本解の時間-空間評価:これまで波動方程式の場合にのみ知られていたこの種の評価式を、上記の場合に一般化した。方程式の特性根が持つ幾何学的性質が評価式にデリケ-トに影響していることを発見し、さらにその定式化を、非線形問題への応用の見地から行うことに成功した。2.特異初期データに対する解の構成:上記によって得られた評価式の応用として、2次式を非線形項に持つ場合の初期値問題の解を構成した。従来この問題は、エネルギー不等式とソボレフの補題を組み合わせる古典的な方法により解析されてきたが、ここでの方法が特異初期データを扱う場合に有効であることが再確認された。現在、同様なアプローチをポテンシャル項及び非斉次項を持つ方程式の場合にも行っており、これらの項の評価式に及ぼす影響についても、次第に明らかになってきている。