Asymptotic analysis of vanishing diffusion in dynamic boundary conditions

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動的境界条件下でのCahn-Hilliard方程式には境界条件の入り方によって複数のモデルがある。特に2011年に提唱されたGoldstein-Miranville-Schimpernaモデルや2019年に提唱されたLiu-Wuモデルを対象として、境界上の拡散および単調項の係数に対してゼロ極限移行による前方後方拡散方程式への接近を考察した。一般に前方後方拡散方程式は非適切な問題としてよく知られているが、動的境界条件では境界条件に時間微分が入り、境界上でも内部と同種の偏微分方程式が考察できる。そのため、内部の方程式が前方拡散である場合に、境界上で一見すると非適切に見える前方後方拡散方程式が適切となることが確認された。まず、Goldstein-Miranville-Schimpernaモデルにおいて粘性消滅の議論を行った。境界拡散項の消失によって、解の正則性が失われるが、境界方程式の弱い意味での解釈によって弱解の存在が証明された。また、連続依存性や極限操作に関する誤差評価を得た。次に、内部と境界の単調項に増大条件の仮定を追加で課すことによって、前述の解の弱い意味が改善され、変分不等式として特徴付けられている式が方程式として解釈できる改良定理を得た。次に、Liu-Wuモデルに対しても同様の課題に取り組み、同様の各種定理を得た。前述のモデルと比べLiu-Wuモデルでは境界方程式から法線方向微分の項が独立して斉次Neumann境界条件となるため、前方後方拡散方程式と解釈するのに、より明瞭な方程式となった。