非線形発展方程式の未踏臨界構造の解明

阐明非线性演化方程的未探索临界结构

• 批准号: 25247009
• 负责人: 小川 卓克
• 金额: $ 6.82万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
• 财政年份: 2013
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2013-04-01 至 2018-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-25247009/
• 关键词: 非線形シュレディンガー方程式; 適切性; 非適切性; ベソフ空間; モデュレーション空間; 移流拡散方程式; 単極型; 双極型

研究代表者の小川は研究協力者の岩渕 司と共同で, 2乗のべき型非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式の適切性と非適切性の臨界を研究し, 空間1次元においては非斉次Sobolev空間のもつ非斉次構造が, 不変スケールから予想される臨界スケールに至ることを阻害することを示し, さらに臨界性を実補間空間であるベソフ空間で分類した場合の臨界補間指数を同定した. また2次元に対しては予想される臨界スケールに至ることを示した. 4次元以上においては堤誉志雄による最良の結果が知られており, 2次の非線型性に対して残る問題は3次元のみとなった. また同様の事実は非線形熱方程式に対しても成立することを述べた. これらの結果は解の形式的な漸近展開を, モデュレーション空間において正当化し, 解の2次近似が臨界空間よりも広いクラスで解の不安定性を引き起こすことに起因する. 漸近展開を正当化することにより, 従来あった背理法による議論を経由せずに証明が可能となる. 一方, 半導体モデルに現れる, 移流拡散方程式には双極性のモデルと単極性モデルが存在する. 双方の初期値問題に対しても同様な臨界適切性を研究し, 双極性のモデルは単極モデルよりも適切な函数空間のクラスが狭いことを, 非線形干渉の対称性に着目して示した. また副産物として, 2次元渦度のNavier-Stokes方程式の可解性について既存の結果が双極型移流拡散方程式の非線形項と類似であるにもかかわらず, 単極型と同等の函数空間まで適切性が示されることについて, 非圧縮条件が非線形構造に対して対称性を与えることに起因することを突き止めた.

In collaboration with research partner Iwabuchi Tsukasa, Ogawa, researcher, studied the appropriateness and criticality of non-linear Schrödinger equations with power-squared non-linear terms, and showed that in the first dimension, the non-symmetric structure of the non-symmetric Sobolev space prevents the predicted critical scale from the invariant scale, and also identified the critical interpolation index when criticality is classified在BESOV空间中，这是实际的插值空间。他还表明，2D预测的临界量表。 Tsutsumi Yoshio的最佳结果以第四维而闻名，而2D剩下的唯一问题是3D。他还指出，非线性热方程式相似的事实是正确的。这些结果证明了在调制空间中溶液的形式渐近扩展是合理的，这是因为溶液的二次近似在比关键空间更宽的类中导致溶液的不稳定性。通过证明渐近扩张的合理性，可以在不使用常规背侧方法进行讨论的情况下证明这一点。另一方面，在半导体模型中出现的对流扩散方程中有双极和单极模型。研究了两个初始值问题的类似关键适用性，我们已经表明，双极模型的功能空间比单极模型较窄，重点是非线性干扰的对称性。此外，作为一种副产品，关于二维涡度的Navier-Stokes方程的溶解度，即使现有结果与双极对流扩散方程的非线性项相似，但适当性显示可通过与单极类型相同的功能空间来实现。我们已经发现，不可压缩的条件是由对非线性结构赋予对称性引起的。