シュレディンガー問題の数値解析

薛定谔问题的数值分析

• 批准号: 21K03364
• 负责人: 中野 張
• 金额: $ 1.5万
• 依托单位: Tokyo Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03364/
• 关键词: シュレディンガー問題; 確率制御; 確率微分方程式; 深層学習; 確率偏微分方程式

本研究課題では，シュレディンガー問題と呼ばれる，初期分布と終端分布が固定されたブラウン粒子の中で最も起こりやすい時間発展を求める問題の数値解法について研究している．本年度の研究では，一般の拡散過程の分布法則を事前分布として採用した場合のシュレディンガー問題について，シュレディンガー・システムと呼ばれる連立偏微分方程式を用いずに近似解を求めるアルゴリズムを導出した．既存の数値解法では，シュレディンガー・システムを数値的に解いた後，h-path過程と呼ばれる確率微分方程式を構成する必要があった．この方法では初期分布と終端分布の両方の密度関数の情報を必要とし，さらにその積分も計算する必要があるため，応用例は限定的になってしまうという問題点があった，提案手法はシュレディンガー・システムを直接利用しない解法であり，経験分布の情報のみが必要で，さらに，事前分布である拡散過程の推移確率の情報も必要ないため，広範囲の応用が期待できる．特に，最近の画像生成に用いられる拡散モデルでは，シュレディンガー問題から派生して生まれた逆拡散過程の理論が使われており，本研究の提案手法を画像生成問題へ応用させることを検討中である．現在は，これまで得られた理論的成果のまとめ，近似解の収束の数学的証明，応用例の選定，および数値実験の準備を行なっている．これらの成果のまとめを今年度行われる複数の国際学会にて発表する予定である.

This research topic is to study the numerical solution of the problem of initial distribution and terminal distribution, which are fixed, and the problem of initial distribution and terminal distribution. This year's research focuses on the distribution rules of general dispersion processes, the prior distribution and the application of continuous partial differential equations. The existence of numerical solutions, h-path processes and exact differential equations are necessary. This method is based on the initial distribution and terminal distribution of square density related information is necessary, and the integral calculation is necessary, and the problem point is limited. The proposed method is to directly use the solution, and the distribution of square density related information is necessary, and the advance distribution is necessary. I'm looking forward to it. In particular, recent studies on the problem of image generation have been conducted in the context of the theory of inverse dispersion process. Now, we have obtained the results of the theory, the mathematical proof of the approximate solution, the selection of the use case, and the preparation of the numerical value. This year's results are expected to be published by a number of international societies.

项目成果

Inverse stochastic optimal controls

• DOI: 10.1016/j.automatica.2022.110831
• 发表时间: 2020-05
• 期刊: Autom.
• 作者: Yumiharu Nakano