シュレディンガー問題の数値解析

本研究課題では，シュレディンガー問題と呼ばれる，初期分布と終端分布が固定されたブラウン粒子の中で最も起こりやすい時間発展を求める問題の数値解法について研究している．本年度の研究では，一般の拡散過程の分布法則を事前分布として採用した場合のシュレディンガー問題について，シュレディンガー・システムと呼ばれる連立偏微分方程式を用いずに近似解を求めるアルゴリズムを導出した．既存の数値解法では，シュレディンガー・システムを数値的に解いた後，h-path過程と呼ばれる確率微分方程式を構成する必要があった．この方法では初期分布と終端分布の両方の密度関数の情報を必要とし，さらにその積分も計算する必要があるため，応用例は限定的になってしまうという問題点があった，提案手法はシュレディンガー・システムを直接利用しない解法であり，経験分布の情報のみが必要で，さらに，事前分布である拡散過程の推移確率の情報も必要ないため，広範囲の応用が期待できる．特に，最近の画像生成に用いられる拡散モデルでは，シュレディンガー問題から派生して生まれた逆拡散過程の理論が使われており，本研究の提案手法を画像生成問題へ応用させることを検討中である．現在は，これまで得られた理論的成果のまとめ，近似解の収束の数学的証明，応用例の選定，および数値実験の準備を行なっている．これらの成果のまとめを今年度行われる複数の国際学会にて発表する予定である.

本研究課題では，シュレディンガー問題と呼ばれる，初期分布と終端分布が固定されたブラウン粒子の中で最も起こりやすい時間発展を求める問題の数値解法について研究している．本年度の研究では，一般の拡散過程の分布法則を事前分布として採用した場合のシュレディンガー問題について，シュレディンガー・システムと呼ばれる連立偏微分方程式を用いずに近似解を求めるアルゴリズムを導出した．既存の数値解法では，シュレディンガー・システムを数値的に解いた後，h-path過程と呼ばれる確率微分方程式を構成する必要があった．この方法では初期分布と終端分布の両方の密度関数の情報を必要とし，さらにその積分も計算する必要があるため，応用例は限定的になってしまうという問題点があった，提案手法はシュレディンガー・システムを直接利用しない解法であり，経験分布の情報のみが必要で，さらに，事前分布である拡散過程の推移確率の情報も必要ないため，広範囲の応用が期待できる．特に，最近の画像生成に用いられる拡散モデルでは，シュレディンガー問題から派生して生まれた逆拡散過程の理論が使われており，本研究の提案手法を画像生成問題へ応用させることを検討中である．現在は，これまで得られた理論的成果のまとめ，近似解の収束の数学的証明，応用例の選定，および数値実験の準備を行なっている．これらの成果のまとめを今年度行われる複数の国際学会にて発表する予定である.