Arithmetik singulärer K3 Flächen

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Mein Hauptinteresse gilt momentan zwei Objekten der algebraischen Geometrie: singulären K3 Flächen und elliptischen Kurven über Funktionskörpern. Mit beiden verbinde ich arithmetische Fragestellungen.Komplexe singuläre K3 Flächen sind durch die maximale Picard-Zahl ρ = 20 ausgezeichnet. K3 Flächen werden nicht nur in algebraischer und arithmetischer Geometrie studiert, sondern sind als zwei-dimensionale Calabi-Yau Varietäten auch für Stringtheoretiker von Interesse.Erstes Hauptziel meiner Arbeit ist die Klassifikation der komplexen singulären K3 Flächen, welche ein Modell über festen Zahlkörpern besitzen, insbesondere über Q. Singuläre K3 Flächen über Q sind zu Modulformen assoziiert. Ein erster Schritt zur allgemeinen Klassifizierung besteht daher in der Bestimmung dieser Modulformen. Diese Analyse wurde in meiner Dissertation vielversprechend begonnen und soll nun vollendet werden.Als zweiten Schwerpunkt meiner Forschung möchte ich elliptische Kurven über Funktionskörpern der Charakteristik 0 studieren, die einen neuartigen Modularitätsbegriff erlauben. Diese Idee habe ich bereits an einzelnen Beispielen erprobt.