Differential geometrey of singularities and its applications

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１．分担者の山田氏，佐治氏，協力者の本田氏，直川氏との共同研究として，波面について知られるZakalyukinの補題をフロンタル特異点にまで拡張し応用を与えた．特に以前，筆者等が与えたツバメの尾の判定条件の証明が簡明になった．関連して，フロンタルではないが，曲面に現れる主要な特異点である「交叉帽子特異点」についても同様の研究を行い，Zakalyukin 型の定理を証明することに成功した．これらを２つの論文にまとめた．２．3次元de Sitter空間の平均曲率1の空間的な曲面として，「不動点をもつ１係数等長変換群」で不変な曲面が複数存在し，G-catenoid とよばれる．分担者の山田氏・ラスマン氏，協力者の藤森氏，國分氏，川上氏，Yang氏らと，それらの多くが，非自明な解析的な拡張をもち，２次元Double-Cone manifoldの構造をもつことを示した．さらに，この事実から，拡張後のG-catenoidが，これ以上の解析的拡張をもたないことが示せた．この成果は論文として現在投稿中である．３．ローレンツ・ミンコフスキー時空における超曲面は，すべての点で誘導計量が退化するとき「光的」であるという．分担者の山田氏，協力者の赤嶺氏，本田氏との共同研究により，光的な超曲面で対応する光的ベクトル場が完備となるものは，ユークリッド空間の超曲面の平行曲面族から構成されるものに限ることを示し，いくつかの重要な応用を与えた．この成果は，論文として現在投稿中である．４．「三次元球面に，はめ込まれた平坦トーラスの直径が，球面の直径に一致するだろう」という予想に長年，筆者は取り組み成果を積んできたが，協力者の北川氏，榎本氏らと共同研究を行い，１つの新たな知見を得ることができた．これを基に今後も研究を継続していく所存である．