Topics in exponential mixing of Anosov flow and quantum chaos

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諸科学において時間発展する系は「力学系」という数学的対象で記述されます。力学系の中には系自体は単純であるのに、その時間発展は複雑で予想不可能になる場合が多くあることが現在ではよく知られていて、「カオス」と呼ばれています。「カオス」をどのように記述し、解析するかは力学系理論において最も重要な課題の１つです。本研究は「カオス」の中でも最も典型的なアノソフ流に対し理論的で精密な解析を行います。少々不思議なことですが、その研究の中には量子力学との類似が発見され、多くの研究者の興味を惹くことで現在関連する研究が盛んになっています。本研究はその中で主導的な役割を果たすことを目指します。研究の初年度においては以下の点について研究を行いました。１）アノソフ流について強いカオス的性質「指数混合性」と関連する事項について研究をしました。前年度から続くZhiyuan Zhang氏（CNRS）との共同研究では、３次元の場合には可積分条件が成り立たない場合には常に指数混合性が成り立つことを成果として得ました。今年度はより一般の３次元部分双曲力学系や高次元の場合についてZhang氏と共に研究を進めました。特に３次元のアノソフ流の時間１写像の摂動についての結果を得て、論文を準備中です。２）アノソフ流の転送作用素に関する準古典解析の視点からの研究をFrederic Faure氏（Fouire Institute）と１０年以上にわたって続けていますが、その成果として２本の長編の論文を執筆し、最初の論文については査読の結果を反映して改訂版を再投稿している段階です。３）これまで双曲もしくは部分双曲力学系の解析を主に取り扱ってきましたが、新たに「転送作用素の解析」という視点から新しい（より一般の）力学系のクラスにアプローチするというアイデアを得て、研究を始めました。このアイデアについて２本の論文を書きました。