Research on the algebraic-geometric codes based on adelic vector bundles

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当研究の課題はadelic曲線によって定義される代数幾何符号の性質を解明することである。今年度に於いては、主にファイバー構造を持つ代数多様体とその上の直線束から定まる符号を考察し、以下の様な研究成果を得た。第一に、曲線上のベクトル束Eに付随した射影束P(E)内の二次超曲面束から定まる符号について研究をおこない、その最小距離に対してEのasymptotic minimal slopeを用いた下からの評価式を得ることができた。特に曲線の種数が1以下の場合には、この評価式をEの既約分解のデータによって具体的に計算することに成功した。この結果は、以前にEがp-半安定と仮定して得られた結果を任意のベクトル束に一般化するものとなっている。第二に、曲線上のアーベリアンスキーム(即ちアーベル多様体をファイバーとするsmoothなファイバー構造を持つ群スキーム)から定まる符号を考察し、適当なnef直線束の存在を仮定して符号の最小距離の下からの具体的評価式を得た。特にファイバーがアーベル曲面の場合には、Aubry達による因子の有理点に関する最近の結果を用いて曲面のトレースによる新しいタイプの最小距離の評価式を得ることにも成功した。第三に、標数0の閉体上定義されたn次元非特異射影多様体上の安定層のn-1次コホモロジー群の次元に対する上からの評価式を得た。これは以前に研究代表者が3次元の場合に得た結果を高次元に拡張するものである。また、この結果を用いて4次元射影多様体上の安定層の4次チャーン類の上限を与えるBogomolov-Gieseker型不等式を導くことができた。