４次元多様体の微分構造と結び目

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本研究課題の主な目的は、４次元多様体の微分構造の性質を様々な観点から解明することと、４次元多様体論の結び目理論への新しい応用を与えることである。2022年度の主な研究成果は４次元多様体の微分同相不変量である種数関数に関するものである。種数関数の値の決定は一般に非常に困難であるが、微分構造の性質を強く反映している。そのため種数関数が微分構造をどの程度決定するかという問題が1990年代に提示された。そこで研究代表者は種数関数が同値な4次元多様体の構成法を開発し、その応用として、同相だが微分同相でない4次元多様体の族で、種数関数が同値なものの組織的構成法を与えた。研究協力者である指導学生（大阪大学大学院生）とは４次元多様体論の様々なトピックについて議論を行った。若槇洋平氏はホモロジーの小さい標準的な単連結閉4次元多様体に対するコルクを発見した。高橋夏野氏は無限個のコルクのトライセクション種数を決定し、arXiv で論文を公開した。阪本稜治氏は楕円曲面 E(1)_{7,2} が幾何学的単連結であることを示し、この成果をまとめた修士論文により、2022年度大阪大学情報科学研究科賞を受賞した。また情報交換と若手育成のため、鎌田聖一教授（大阪大学）、松本堯生名誉教授（広島大学）と共に研究集会「4次元トポロジー」を2022年11月11日～13日に大阪大学で開催した。コロナ禍以降では初めての対面開催だったが、54名の参加者があり、活発な議論がなされた。