Possibility of localization methods for inverse problems of time dependent problems

本研究の目標は、時間に依存した微分方程式で記述される逆問題を囲い込み法により調べる際に現れる漸近挙動の解析に対する「局所化」の可能性の考察にある。逆問題では観測データから定められた「指示関数」と呼ばれる関数の解析を通じて媒質内部の情報を得ようとする。この問題はHelmholtz方程式におけるパラメータを純虚数にした定常問題の基本解の漸近挙動を調べる問題に帰着させるが、この方法で得られた結果は、基本解の一部の情報しか用いていない様に見える。これが正しければ、必要となるべき部分だけを取り出せるような解析を行えば、問題の局所化が出来るはずである。これまでの基本解をそのまま用いる解析は上記の「局所化」については全く考慮していないことを意味している。そこで、基本解から逆問題の解析に必要と思われる部分のみを取り出せるか、もしそれができないのなら、その理由を解明したいというのがこの研究の目標である。この問題について、令和3年度までに次が分かった。(i) 一様な媒質の中にノイマン型（ロバン）境界条件に従う穴とディリクレ境界条件に従う穴が混在する場合（以下、混在型という）、最短の長さを与える箇所がどちらかの穴に限定されている場合は、単一の境界しかない既存の場合と同じ方法で議論できる。(ii) (i)のノイマン型境界条件を消散項付きの境界条件に拡張できる。(iii) 混在型で、最短の長さを与えている穴がどちらの境界条件を満たしているかが分からない場合、ノイマン型境界条件の境界は3回微分可能、ディリクレ境界条件の方は4回微分可能な場合には漸近解を用いて指示関数の漸近挙動を求めた。令和4年度はこれまでの研究で得た上の(i)-(iii)についての証明の細部の検証を行い論文投稿の準備を行った。さらにこれらの結果の紹介を行った研究発表についての解説をProceedingsに投稿した（掲載受理された）。

本研究の目標は、時間に依存した微分方程式で記述される逆問題を囲い込み法により調べる際に現れる漸近挙動の解析に対する「局所化」の可能性の考察にある。逆問題では観測データから定められた「指示関数」と呼ばれる関数の解析を通じて媒質内部の情報を得ようとする。この問題はHelmholtz方程式におけるパラメータを純虚数にした定常問題の基本解の漸近挙動を調べる問題に帰着させるが、この方法で得られた結果は、基本解の一部の情報しか用いていない様に見える。これが正しければ、必要となるべき部分だけを取り出せるような解析を行えば、問題の局所化が出来るはずである。これまでの基本解をそのまま用いる解析は上記の「局所化」については全く考慮していないことを意味している。そこで、基本解から逆問題の解析に必要と思われる部分のみを取り出せるか、もしそれができないのなら、その理由を解明したいというのがこの研究の目標である。この問題について、令和3年度までに次が分かった。(i) 一様な媒質の中にノイマン型（ロバン）境界条件に従う穴とディリクレ境界条件に従う穴が混在する場合（以下、混在型という）、最短の長さを与える箇所がどちらかの穴に限定されている場合は、単一の境界しかない既存の場合と同じ方法で議論できる。(ii) (i)のノイマン型境界条件を消散項付きの境界条件に拡張できる。(iii) 混在型で、最短の長さを与えている穴がどちらの境界条件を満たしているかが分からない場合、ノイマン型境界条件の境界は3回微分可能、ディリクレ境界条件の方は4回微分可能な場合には漸近解を用いて指示関数の漸近挙動を求めた。令和4年度はこれまでの研究で得た上の(i)-(iii)についての証明の細部の検証を行い論文投稿の準備を行った。さらにこれらの結果の紹介を行った研究発表についての解説をProceedingsに投稿した（掲載受理された）。