正則なヘッセンバーグ多様体の研究

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ヘッセンバーグ多様体は旗多様体の部分多様体であり，そのトポロジーは他分野の超平面配置やグラフ理論と関連している興味深い研究対象である．今年度は正則な冪零ヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環の明示的表示を与える問題を，昨年度に引き続き，榎園誠氏，長岡高広氏，土谷昭善氏と取り組んだ．この問題は，以前の阿部拓郎氏，枡田幹也氏，村井聡氏，佐藤敬志氏との共同研究により，対応するイデアル配置の対数的導分加群の基底を明示的に構成する問題に帰着されるため，ルート半順序集合のイデアルの取り方に依存しない基底の構成を目標とした．以下では，この基底を一様な基底と呼ぶことにする．A，B，C，G型に関しては，その一様な基底は阿部拓郎氏，枡田幹也氏，村井聡氏，佐藤敬志氏との共同研究で既に与えられており，昨年度に榎園誠氏，長岡高広氏，土谷昭善氏との共同研究によりD型イデアル配置の対数的導分加群の一様な基底を得た．E,F型に関しても昨年度に取り組んではいたが，完全には解決していなかった．しかし，今年度E,F型に関してもイデアル配置の対数的導分加群の一様な基底が得られた．より厳密には，正ルートからなる集合のある分解を考え，その分解に応じてヘッセンバーグ関数の定義，イデアル配置の対数的導分加群の一様な基底の概念を導入した．そのような任意の分解に対して，イデアル配置の対数的導分加群の一様な基底が，ルート系の言葉とある正則行列たちを用いた漸化式で表されることを証明した．（この正則行列たちは，Lie typeに依って変わってくる．）さらに，正ルートからなる集合のある分解をLie type毎に一つ固定したとき，その正則行列たちを具体的に与えた．この結果と昨年度に得られていた別の結果（ともに榎園誠氏，長岡高広氏，土谷昭善氏との共同研究）の二つを論文に纏め，arXivにアップロードした．