非線形波動に関連する偏微分方程式の初期値問題

非線型波動方程式の初期値問題の研究,特に小さな初期条件を持つ場合の古典解のlifespan(存在時間)についての研究を行った.未知関数をuとするとき,非線形項がuの導関数のみに依存する場合については,様々な研究により,状況は既にほぼ完全に明らかになっていると考えられる.逆に,非線形項がuのみに依存する場合にも,別の手法により状況は明らかになってきている.非線形項がuとその導関数の双方に依存する場合には先に挙げた二つの場合の手法をうまく統合する必要があり,困難を伴う.このような非線形項に対しても,単独方程式の場合にはかなり結果が整備されてきているが,連立方程式系,特に成分により伝播速度が異なる場合には,単独方程式の場合の手法の多くが適用できないため困難が生じる.本研究では,伝播速度の異なる連立の非線形波動方程式系で,非線形項が未知関数とその導関数の双方に依存する場合を考察し,この場合に,大域解の存在を保証する新たな非線形項のクラスを見出した.これは非線形項が特にdivergence forimを持つときに従来知られていた条件を応用することにより得られる.空間の次元が3次元である場合には,このようにして知られた結果に任意の高次の非線形項を加えても,結果が変わらない,すなわち小さな初期条件に対して大域解が存在することを示した.今後の研究課題としては,空間次元が2次元の場合にも,同様に高次の非線形項を加えても結果が変わらないかどうか,もしくは今回新たに得られた非線形項のクラスに従来知られていた非線形項を加えたらどうなるか等を調べることが考えられる.

非線型波動方程式の初期値問題の研究,特に小さな初期条件を持つ場合の古典解のlifespan(存在時間)についての研究を行った.未知関数をuとするとき,非線形項がuの導関数のみに依存する場合については,様々な研究により,状況は既にほぼ完全に明らかになっていると考えられる.逆に,非線形項がuのみに依存する場合にも,別の手法により状況は明らかになってきている.非線形項がuとその導関数の双方に依存する場合には先に挙げた二つの場合の手法をうまく統合する必要があり,困難を伴う.このような非線形項に対しても,単独方程式の場合にはかなり結果が整備されてきているが,連立方程式系,特に成分により伝播速度が異なる場合には,単独方程式の場合の手法の多くが適用できないため困難が生じる.本研究では,伝播速度の異なる連立の非線形波動方程式系で,非線形項が未知関数とその導関数の双方に依存する場合を考察し,この場合に,大域解の存在を保証する新たな非線形項のクラスを見出した.これは非線形項が特にdivergence forimを持つときに従来知られていた条件を応用することにより得られる.空間の次元が3次元である場合には,このようにして知られた結果に任意の高次の非線形項を加えても,結果が変わらない,すなわち小さな初期条件に対して大域解が存在することを示した.今後の研究課題としては,空間次元が2次元の場合にも,同様に高次の非線形項を加えても結果が変わらないかどうか,もしくは今回新たに得られた非線形項のクラスに従来知られていた非線形項を加えたらどうなるか等を調べることが考えられる.