トーリック多様体とカスプ特異点の研究

本研究の主な対象であるトーリック型カスプ特異点つまり土橋カスプ特異点は，格子点の指定された実空間の開凸錐に離散線形群が格子点集合を保存するように作用していて，その開凸錐の分割で多面錐の集合である扇がいくつかの条件を満たす場合にトーリック多様体の理論を応用して構成される孤立特異点である．これは元々は複素解析的特異点であるが，研究代表者により任意の体上の完備局所環としても構成できることがわかっている．本研究ではカスプ特異点を中心に，様々なトーリック多様体の問題について考察している．研究代表者の石田はこれまでと同様に Vinberg の線形コクセター群の例を与える直角鏡映群について研究を継続している．3 次元で立方体のアフィンコクセター群と立方体の自己同型群の合成群の特殊な部分群の分類と整理を行い，さらに高次元化が可能か考察中である．また 3 つの元で生成されるコクセター群について，これまでと同様にコクセター群から構成される曲面に自由に作用する部分群を見つける計算機プログラムについても，今年度は新たに高性能のパソコンを購入して種々の計算を行っている．またこれを他の場合に適用出来るように改良を試みている．条件をつけていくつかの部分群について実際に計算を行っている．またヒルベルトモジュラーカスプ特異点のものと同様なゼータ関数が，トーリック型カスプ特異点についても開凸錐に含まれる格子点の作用に関する代表元と原点について特性関数のべき乗の和を取って定義される．この和を扇に含まれる多面錐に限った関数を部分ゼータ関数として考えることが出来る．この部分ゼータ関数とカスプ特異点のゼータ関数には容易に得られる関係式はあったが，ゼータ関数については成り立つ特殊値の有理性などはまだ得られていない．

本研究の主な対象であるトーリック型カスプ特異点つまり土橋カスプ特異点は，格子点の指定された実空間の開凸錐に離散線形群が格子点集合を保存するように作用していて，その開凸錐の分割で多面錐の集合である扇がいくつかの条件を満たす場合にトーリック多様体の理論を応用して構成される孤立特異点である．これは元々は複素解析的特異点であるが，研究代表者により任意の体上の完備局所環としても構成できることがわかっている．本研究ではカスプ特異点を中心に，様々なトーリック多様体の問題について考察している．研究代表者の石田はこれまでと同様に Vinberg の線形コクセター群の例を与える直角鏡映群について研究を継続している．3 次元で立方体のアフィンコクセター群と立方体の自己同型群の合成群の特殊な部分群の分類と整理を行い，さらに高次元化が可能か考察中である．また 3 つの元で生成されるコクセター群について，これまでと同様にコクセター群から構成される曲面に自由に作用する部分群を見つける計算機プログラムについても，今年度は新たに高性能のパソコンを購入して種々の計算を行っている．またこれを他の場合に適用出来るように改良を試みている．条件をつけていくつかの部分群について実際に計算を行っている．またヒルベルトモジュラーカスプ特異点のものと同様なゼータ関数が，トーリック型カスプ特異点についても開凸錐に含まれる格子点の作用に関する代表元と原点について特性関数のべき乗の和を取って定義される．この和を扇に含まれる多面錐に限った関数を部分ゼータ関数として考えることが出来る．この部分ゼータ関数とカスプ特異点のゼータ関数には容易に得られる関係式はあったが，ゼータ関数については成り立つ特殊値の有理性などはまだ得られていない．