多変数複素解析学の研究

今年度は、多変数の複素解析のうち、とくに近似の問題とpeak setの問題を主として研究した。また、近似の問題ではCarleman型の問題について研究し、次の結果を得た。1.R^nに関して対称な擬凸領域をGとするとき、R^nの開集合U=G∩R^nで連続な関数をGで正則な関数で一様近似できることを示した。Carlemanのswelling methodと関数環のanti‐symmetric setの方法を組み合わせたものである。2.C^nのtotally real set上の連続関数の整関数による一様近似について、近似可能条件である集合の定義関数のLevi‐formに関する条件を改良した。3.KがC^nの多項式凸なコンパクト集合の場合に、R^n×K上のCR関数の正則近似定理を証明した。swelling methodの他にGaussの関数の積分による方法も可能であることを示した。さらにKがコンパクトでない場合についても調べて、とくに、R^n×C^n場合には一般に近似不可能であることを示し、与えられたCR関数の満たすべき条件を導いた。4.C^nの多項式凸なtotally real set上の整関数による近似の可能性についての1つの条件を得た。これらの結果はそれぞれ論文として発表する予定である。peak setの問題では、とくにpeak‐interpolation setについて研究した。滑らかな境界をもつ領域GについてはA^1(G)peak interpolation setが有限集合であることが知られているが、境界が滑らかでない場合、たとえば滑らかな境界をもつ強擬凸領域の共通部分のような場合には、有限でないpeak interpolation setが存在し得ることを示し、また、有限でないpeak interpolation setが存在するための一般的な条件を与えた。この結果は論文として発表の予定である。近似の問題については一般のCR関数の大域的な近似の問題が、またpeak setの問題については、弱擬凸領域についての問題が今後の課題である。

今年度は、多変数の複素解析のうち、とくに近似の問題とpeak setの問題を主として研究した。また、近似の問題ではCarleman型の問題について研究し、次の結果を得た。1.R^nに関して対称な擬凸領域をGとするとき、R^nの開集合U=G∩R^nで連続な関数をGで正則な関数で一様近似できることを示した。Carlemanのswelling methodと関数環のanti‐symmetric setの方法を組み合わせたものである。2.C^nのtotally real set上の連続関数の整関数による一様近似について、近似可能条件である集合の定義関数のLevi‐formに関する条件を改良した。3.KがC^nの多項式凸なコンパクト集合の場合に、R^n×K上のCR関数の正則近似定理を証明した。swelling methodの他にGaussの関数の積分による方法も可能であることを示した。さらにKがコンパクトでない場合についても調べて、とくに、R^n×C^n場合には一般に近似不可能であることを示し、与えられたCR関数の満たすべき条件を導いた。4.C^nの多項式凸なtotally real set上の整関数による近似の可能性についての1つの条件を得た。これらの結果はそれぞれ論文として発表する予定である。peak setの問題では、とくにpeak‐interpolation setについて研究した。滑らかな境界をもつ領域GについてはA^1(G)peak interpolation setが有限集合であることが知られているが、境界が滑らかでない場合、たとえば滑らかな境界をもつ強擬凸領域の共通部分のような場合には、有限でないpeak interpolation setが存在し得ることを示し、また、有限でないpeak interpolation setが存在するための一般的な条件を与えた。この結果は論文として発表の予定である。近似の問題については一般のCR関数の大域的な近似の問題が、またpeak setの問題については、弱擬凸領域についての問題が今後の課題である。