アレクサンドロフ空間の幾何学

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山口孝男はアレクサンドロフ空間を一般化した局所的リプシッツ可縮内部距離空間X上のリプシッツ鎖の体積に関する理論を構成し、その応用として曲率を上から制限したアレクサンドロフ空間上の強意m-単体のハウスドルフ測定の上からの評価を得た。この結果はGromovによるRic≧n-1なる条件下での単体体積に関する評価を発展させたものである。塩谷隆は全絶対曲率の上限をもつ2次元コンパクトリーマン多様体族は、ハウスドルフ距離に関してprecompactである事を示し、その閉包に属する内部距離空間Xのハウスドルフ次元に関する上からの精密な評価を得た。かようなXはアレクサンドロフ空間の性質を持たず、π_2(X)が無限生成となる例も含み、極めて興味深い独創的な結果である。塩浜勝博は許洪偉と共同で第2基本形式及び曲率ノルムと位相との関係を研究した。Nash embeddingによって次元の高いユークリッド空間に等長的にうめ込まれた多様体族を第2基本形式から定まる量によって定め、球面定理を証明した。曲率ノルムに関しても同様の結果を得た。これらの条件をみたす多様体族はアレクサンドロフ空間の範疇に属するが、曲率の上下からの制限が完全に撤廃された。かくして全く新しいリーマン多様体族に関する球面定理がうち立てられた。塩浜は更に極小カレントに関数するFederen-Flemingの定理とLawgon-Simonsの結果を用いて、ホモロジー消滅定理を第2基本形式から定まるスカラー評価から示し、極小部分多様体論がリーマン幾何学にも適用出来る初めての例となる成果を挙げた。これら全ての結果はアレクサンドロフ空間の幾何学の発展の方向を示す有力な手がかりを与える貴重なものと言えよう。