保型形式の数論的研究

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実斜交空間(V,D)の斜交群をSp(V)として、局所コンパクトユニモジュラー群Gと連続群準同型写像ρ:G→Sp(V)を取る。Sp(V)の実Lie群としての2-fold covering groupをp:Sp(V)→Sp(V)として、fibre productをρ:G=G×_<Sp(V)>Sp(V)→Sp(V)とする。(V,D)に付随したHeisenberg群H[V]=V×RのU(0,t)=exp2π√<-1>tなる既約ユニタリ表現Uに対して、U(h^σ〕=ω(σ)^<-1>oU(h)oω(σ)なるSp(V)のユニタリ表現ω(Weil表現)が定まるから、G_J=g〓H[V]の既約ユニタリ表現ω_Jをω_J(σ,h)=ω(ρ(σ))oU(h)により定める。自然な射影p_1:G_J→Gに対して1)Gのユニタリ表現のユニタリ同値類から、π|_<Z(H[V])>=exp2π√<-1>_*なるG_Jのユニタリ表現のユニタリ同値類への全単射がτ→(τop_1)【cross product】ω_Jにより与えられ、2)(τop_1)【cross product】ω_Jが既約(Z(H[V])を法として二乗可積分)⇔τが既約(二乗可積分)、なることはよく知られている。この関係を誘導表現に適用すれば、以下に述べる微妙な問題を法として、Gの既約表現τに対応するG上の保型形式と(τop_1)【cross product】ω_Jに対応するG_J上の保型形式とが同型に対応する。Gの既約表現τを固定する。Gのコンパクト部分群Kを取りK=p^<-1>(K)とおく。Kの既約表現δに対して、((τop_1)【cross product】ω_J)|_Kにおけるδの重複度は、一般には有限とは限らない。そこで次のように定義する;定義1ρ:G→Sp(V)is good w.r.to τ⇔((τop_1)【cross product】ω_J)|_Kにおけるδの重複度=1なるKの既約表現δが存在する。例えば、G=Sp(n,R),U(p,q),O^*(2n)として、reductivedual pair(Sp(n,R),O(m)),(U(p,q),U(m)),(O^*(2n),Sp(m))によるSp(V)への埋め込みをρ:G→Sp(V)とすると、ρ:G→Sp(V)is good w.r.to holomorphic discrete series on Gである。この例から次のような予想をたてることが出来る;予想2ρ:G→Sp(V)が(H_1)-group homomorphismならばρ:G→Sp(V)is good w.r.to holomorphic discrete series on G.