保型表現の研究

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Weil表現と概均質ベクトル空間の理論は,共に興味深い。それらは,いまだformalismとして完成していないというだけでなく,それらは,互に深く関連し合っていると思われるのである。正定値二次形式に附随するtheta級教はSiegel保型形式となるが,そのMaassのDirichlet級数は,Koecherのzeta関数である。ここで,二次形式のtheta級数は,rednctivedual pairとtheta核による保型形式のliftingの最も簡単な場合である。一方,Koecherのzeta関数は,概均質ベクトル空間に附随するzeta関数とみるのが自然である。このような現象は,一般のrednctive dual pairに対して成り立つ。そこで,次のクロスワ-ドパズルが解ける可能性がある;Weil表現 ?Fourier変換 概均質ベクトル空間Takase[1]は,一般の局所コンパクト群上の保型形式の一般論(Chap.1)と,その,Siegel保型形式(Chap.2)とJacobi形式(Chap.3)への応用を扱った。Takase[2]は,Takase[1]Chap.3の誤りを訂正して,Chap.3を救出するために書いた。Takase[3]は,半単純Lie群の放物的部分群のLevi部分が巾零部分に自然に作用するが,この作用を用いて,redvctive dual pairを特徴付ける。そこでは,巾零Lie群の既約ユニタリ表現に関するKirillovの理論と,二つのron Neumann環が互いに相手の中心化環になっているということが重要な働きをする。Takase[4]は,符号数(1,g+l)のHermite行列のユニタリ群SU(1,g+l)上のSelberg型Zeta関数(1次元のKーtype付)の特殊値を,“regulator"と“period"の積として,解釈する。