保型形式の表現論的研究

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Q上の斜交空間(V_0,D)の斜交群Sp(V_0)はHeisenberg群H[V_0]に自然に作用し、半直積Sp(V_0)_J=Sp(V_0)αH[V_0]が定義される。Sp(V_0)_Jをp-進体上(p(〕 SY.ltoreq. 〔)∞)又はadele化して得られる局所コンパクト群Sp_Jのユニタリ表現を詳しく調べることにより、Eichiler-ZagierとIbukiyamaによるJacobi cusp formと半整数weight Siegel cusp formの良い対応の精密化、一般化が得られた。議論の基礎となる原理は次の事実である;Sp(V_0)をp-進体上、又は、adele化して得られる局所コンパクト群Spの二重被覆群をSp^^〜とする。Sp^^〜のWeil表現をωとすると、Sp^^〜のユニタリ表現πに対してπ(〕 SY.crosprd. 〔)ωはSp_Jのユニタリ表現と見なせる。このとき、π→π(〕 SY.crosprd. 〔)ωはSp^^〜のユニタリ表現からSp_Jのユニタリ表現へのbijectionを与え、既約表現は既約表現に対応する。R=Q_∞上で上の対応を具体的に書くと、index 1,weight kのJacobi cusp form Fに対してf(σ^^〜)=S_<LAMBDA＼Sp_J> F(σ,h)THETA(σ^^〜,h)dh^^・(σ^^〜 E Sp^^〜 over σ E Sp)はweight k-1/2のSiegel cusp formになり、F→fはindex 1,weight kのJacobi cusp formの空間からweight k-1/2のSiegel cusp formの空間の上への、内積を保つC-線形同型となる。THETA(σ^^〜,h)は、theta級数である。good prime pに対しては、対応π→π(〕 SY.crosprd. 〔)ωはSp^^〜のclass-1表現とSp_Jのclass-1表現とのbijectionを与えることが示される。これは、Sp^^〜のHecke作用素の環H_pとSp_JのHecke作用素の環H_<p,J>とのC-algebraとしての同型を与えるが、その同型写像をdouble cosetのcharacteristic function(それらがH_pとH_<p,J>のC-baisisを成す)の対応として具体的に書くことができる。以上のlocal theoryからadele化した群上でのglobal theoryが構成される。結果として、R=Q_∞上で与えた対応F→fがHecke作用素の作用と可換であることがわかる。表現論的手法を用いることにより、Eichler-Zagier-Ibukiyamaの対応の原理的基礎が明らかになり、他の多くの群の場合への一般化の明かな見通しが得られた。