無限次元と非可換な幾何学について

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今年度の研究目標は、主に次の2点に絞って行われた。(1)無限次元多様体の解析によるアプローチ(2)量子化問題に関連した非可換多様体の構成上記2点についての実績について報告する。(1)について:主な目標は、無限次元多様体の様々な例を考察し、その多様体の解明をすることにある。対象物としては、接続全体の空間、リーマン計量のなす空間等についての考察である。これらの空間には、無限次元群が作用しており、その対称性がこの無限次元他酔いたいの性質に強く反映する。前田は、これらのモデルについて、群作用のオ-ビットを詳しく調べ、ゼータ関数を用いて極小オ-ビットと変分問題の関係を明らかにした。また,これら無限次元多用体上での変分問題を研究した菊池は、モ-ス流の概念を作り、変分法による変分問題の解の構成を行った。谷他は、渦流体の方程式の解明を行った。前田他により、ヤング・ミルズグラディエント流の大域解の解析も行われた。(2)について:変形量子化の概念を用いて、多様体状の微分可能関数環にパラメータを添加した形式べき級数環に、結合的な非可換積構造を入れることが研究された。これにより、多くの非可換多様体の例を構成することができた。前田他により、一般のポアソン多様体の上でのこの様な非可換積の構成や障害を見つけることができた。さらには、無限次元ILH Lie環のユニバーサルエンベロップ代数に対応するものの構成を応用して行った。これらは、表現論と密接に関連しており、この立場から、河添他によるフーリエ変換による局所L^2関数の特徴づけについての研究がある。現在、この2点についての研究は続けられており、様々な応用と発展が期待されている。