保型形式の数論及び幾何的側面の研究

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(1)前年度までの研究で、有限環Z/nZ上の行列群SL_2(Z/nZ)の特殊なタイプの表現が、重さ半整数の保型形式のフーリエ係数と密接に関係する事が知られていた。今年度はこの事実を用いて、重さ半整数の保型形式のより詳細な分析を行った。より具体的に言えば、重さk+1/2の保型形式は、重さ2Kの保型形式と対応づけられるが、これを更に、より本質的な、重さ2kのNewFormとの対応に置き換えるという事である。この分析のためには、重さ半整数の保型形式のフーリエ係数がいつゼロになるかを、望むように調節する事が必要になる。フーリエ係数のゼロになる場所のずれにより,それらを互いに分離するのである。その調整の道具として、上に述べた既約表現とフーリエ係数の対応関係を使う事を試み,これが大変有効な道具である事がわかり,これにより,当面の課題であった、重さ半整数の保型形式のNewformの存在を確定することが出来た。(2)1995年10月7-8日の二日間、このテーマに関する研究集会を開き、これからの研究の方針の相談、ならびに討論と研究成果の効果、発表を行った。この場で、上に述べた成果と、保型形式を新しいタイプの無限積から構成するBorcherdsの方法との関係や、特殊な楕円曲線、3次元微分多様体の族との関りが指摘され、これからの研究の方向についての有益な指針が得られた.特に後者の微分多様体との関係はこれからの発展が大いに期待できる研究方向であり,来年以降も,保型形式と代数幾何学,微分幾何学との関係の確立を視野にいれた研究を続行する予定である.