保型形式の数論及び幾何的側面の研究

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1.有限環II/nII上の群SL_2(II/nII)を保型形式のなすベクトル空間に作用させ、SL_2(II/nII)の表現を構成した。その表現空間にどのような既約表現が現れるかを研究した。nの各素因子Pに対して上記の表現をP-成分に分解することができる。このP-成分には、自明表現、スタインバーグ表現、平方剰余表現、平方非剰余表現の4つのタイプしか現われないことが示せた。更にこの4タイプの表現がいつ現われるかについて研究し、保型形式の空間上のある作用素X_pを用いた有効な判定法を得た。2.ある保型形式が、上記の4タイプの表現を与える際に、その表現の違いが保型形式に関する様々な数学的現象にどう反映するかを研究した。まず、幾何的現象については、超楕円曲線との関係が指摘される。これは荒くいえば重さ半整数の保型形式が通常の重さ整数の保型形式の2次拡大と考えられることから、曲線のの2次拡大との関係と言い直せる。この事についてはまだ研究の取り掛かり部分が得られた段階であり、引き続き来年度も研究が進められる。次いで数論的現象については、次の成果を得た。Newformに対応するSL_2(II/nII)の表現を各P-成分に分解する。そのP-成分が上記の4タイプの表現のどれになるかに従い,そのNewformのフーリエ係数がいつ消えるかという性質(Non-vanishingness)が異なるタイプになる事が解明された。この成果により、重さ半整数の保型形式のNewformについて、より詳しい研究が可能となった。重さ半整数の保型形式への応用については引き続き来年度も研究を続行する予定である。