アーベル多様体の算術的理論の研究

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本研究において代数体上定義されたアーベル多様体の数論的性質、特にそのモ-デル・ヴェイユ群について研究した。その詳しい内容は以下の通りである。1.研究代表者は代数体上定義された楕円曲線のモ-デル・ヴェイユ群のトーション部分が同種写像により、どのように変動するかを調べた。その結果、与えられた楕円曲線が虚数乗法を持たなければ、それに同種な楕円曲線の中で、トーション部分が定義体に含まれる1のべき根の数の約数を位数とする巡回群と同型になるものが存在することを証明した。これは、ロスが彼の論文の中で提起した問題の一つに肯定的な解答を与えるものである。2.代数体上定義されたアーベル多様体のモ-デル・ヴェイユ群から定義体のイデアル類群への写像(ideal class pairing)を研究した。この写像は、メイザーとテイトの論文において初めて統一的な定義がなされたのであるが、その詳しい性質については、あまり深い研究がなされてはおらず、唯一コールの研究があるだけだったと思われる。本研究において、研究代表者は超楕円曲線のヤコビ多様体に焦点を当てて、その写像の像がいくらでも大きくなり得ることを証明した。更に、ヤコビ多様体のモ-デル・ヴェイユ群のトーション部分は、ほとんどの場合その写像により定義体のイデアル類群へ単射的に写されることを証明した。3.研究分担者(塩田)はルート格子E_6,E_7,E_8及びそれらの双対格子を一律に構成する方法を与えた。これは、モ-デル・ヴェイユ格子と3次元曲面等の関連を追及いているうちに得られた副産物である。また、3次元曲面のEckardt pointとD_4型のモ-デル・ヴェイユ格子の関係を望ましい形で確立した。