非線形楕円型偏微分方程式

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1.単独の2階準線形楕円型方程式に対する正値全域解の存在と漸近的挙動に対しては多くの研究がなされてきた.それらは楕円型方程式系や高階方程式,さらには主要部が退化するような方程式の研究へと進展してきた.これまで本研究代表者はそれらを研究の対象とし,本研究でもそれを継続した.最近,代表者は福岡大学草野教授との共同研究で,p-ラプラス作用素を主要部に持つような非線形方程式に対して,無限遠において種々な漸近挙動を持つ球面対称な正値全域解の存在を考察した.また,高階の準線形方程式に対するsupaersolution-subsolution法を確立して正値解の存在に応用した.本研究ではこれらをある意味では一般化する事をめざし,特に主要部が退化する4階の非線形方程式を考察の対象にした.まず,球面対称な方程式に対して球面対称な増大解,一様正値解および減衰解が存在するための十分条件を与えた.次に,退化型の高階方程式に対するsupersolution-subsolution法を確立して球面対称でない方程式に対する有界な正値全域解の存在を示した.これは最近草野教授と共著でJ.Math.Soc.Japanに発表した高階方程式に対する結果を一般化している.本研究で得られた結果は海外の学術雑誌に発表した.各研究分担者は,次のような研究を行い本研究を進めた.2.スカラー場の自己相互作用をBrown運動のpathの交叉性で表現し,4次元時空における,自明性(相互作用がないこと)の証明を目指して研究した.3.Lie群上のpath space上のmetricが,その無限次元からその終点によって分類される空間に退化するとき,対応する半群が収束することを得た.4.無限次元の確率解析の研究を進めた.5.数理物理に現れる無限次元確率微分方程式について,解の定義を与え,その存在及び一意性について議論した.6.積分型非局所項を含むある反応拡散方程式の時間大域解の存在,及び定常解の安定性について考察を行った.