非線形偏微分方程式の粘性解とその応用の研究

非线性偏微分方程粘性解及其应用研究

• 批准号: 07640249
• 负责人: 石井 仁司
• 金额: $ 0.51万
• 依托单位: Chuo University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-07640249/
• 关键词: 粘性解; 平均曲率流; 非線形偏微分方程式; 放物型方程式; 最適制御

1階非線形偏微分方程式,2階非線形楕円型及び放物型偏微分方程式の弱解の存在,一意性およびその応用について研究した.特に,最大値原理に基づいて定義される微分方程式の弱解=粘性解の理論及び応用について研究した.以下研究成果を箇条書きにして説明する.1.非線形放物型方程式Allen-Cahn方程式について,その数値計算への応用およびその相互作用のある無限粒子系モデルにおける相転移の研究との関連において,空間変数の離散近似問題を研究し,本来の連続問題に対するEvans,Soner,Souganidisによる内部遷移層の平均曲率流への収束の結果に対応する結果を離散近似問題の場合に得た.2.Allen-Cahn方程式のような半線形放物型方程式について,非線形項がsin関数のような周期関数である場合に適当なスケーリングにより解が,すべての等高面が平均曲率流であるような関数に収束することを示した.関連した結果が最近Jerrardにより得られている.3.Bence,Merriman,OscherのアルゴリズムやGriffeath等による閾値ダイナミクッス法を研究し,その一般化による曲面の非等方的平均曲率流の近似スキームの構成とその収束,また曲面の時間発展の速度が曲面の方向の関数であり曲率には依存しない場合に付いても近似スキームの構成と収束を示した.更に,このような曲面の時間発展に対して,対応するWulffクリスタルに漸近的に相似であることを証明した.4.Hamilton-Jacobi方程式に対するエルゴード問題あるいは対応する最適制御問題に対するエルゴード問題について,エルゴード・アトラクターの特徴付けを研究し,いくつかの新しい特徴付けに関する結果を得た.以上の結果はすべて粘性解の概念を本質的に使って得られた.今後も粘性解を利用した偏微分方程式の研究が重要であり,活発な研究が期待される.

The existence of weak solutions for first order nonlinear partial differential equations, second order nonlinear differential equations of circular and parabolic type, and the application of linear differential equations are studied. In particular, the maximum value principle is based on the definition of weak solutions of differential equations = viscous solutions. 1. Non-linear equation of matter type Allen-Cahn equation, calculation of numerical value, application and interaction, infinite particle system, phase shift, correlation, discrete approximation problem of spatial variable, original correlation problem Evans,Soner, 2. The Allen-Cahn equation is a semi-linear equation of matter type, and the nonlinear term is a sin correlation. In the case of a periodic correlation, the solution of the equation is appropriate. 3. Bence, Merriman, Oscher and Griffeath are studied by threshold method, and the generalized mean curvature flow of a curved surface is approximated by the component of the curve bundle, and the velocity of the time evolution of the curved surface depends on the direction of the curved surface. 4. The Hamilton-Jacobi equation is used to solve the optimal control problem of the time evolution of the curved surface. The above results are based on the concept of viscous solution. In the future, it is important to study the application of partial differential equations for viscous solutions.

项目成果

石井仁司: "On the equivalence of two notions of weak solutions,viscosity solutions and distribution solutions" Funkcialaj Ekvacioj. 38. 101-120 (1995)

Hitoshi Ishii：“关于弱解、粘度解和分布解的两个概念的等价性”Funkcialaj Ekvacioj 38. 101-120 (1995)。

石井仁司: "Generalized motion of noncompact hypersurfaces with velocity having arbitrary growth on the curvature tensor" Tohoku Math.J.47. 227-250 (1995)

Hitoshi Ishii：“曲率张量上速度任意增长的非紧超曲面的广义运动”Tohoku Math.J.47 (1995)。

石井仁司: "Degenerate parabolic PDEs with discontinuties and generalized evolutions of surfaces" Advances in Differential Equations. 1. 51-72 (1996)

Hitoshi Ishii：“具有不连续性和曲面广义演化的简并抛物线偏微分方程”，微分方程进展 1. 51-72 (1996)。

石井仁司: "A new formulation of state constraint problems for first-order PDEs" SIAM J.Optim.Control. (印刷中). (1996)

Hitoshi Ishii：“一阶偏微分方程状态约束问题的新表述”SIAM J.Optim.Control（出版中）。

石井仁司: "Uniqueness results for a class of Hamilton-Jacobi equations with singular coefficients" Comm.in Partial Differential Eqnations. 20. 2187-2213 (1995)

Hitoshi Ishii：“一类具有奇异系数的 Hamilton-Jacobi 方程的唯一性结果”Comm.in 偏微分方程 20. 2187-2213 (1995)