Advancement in viscosity solution theory: asymptotic and boundary value problems

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前年度までの研究を基盤として、粘性解理論の新展開を図り、完全非線形偏微分方程式に対する漸近問題と境界値問題を中心に理論と応用の両面で粘性解研究を推進した。ハミルトン・ヤコビ方程式の連立系に対する割引率消去問題の研究を進め次のような成果を得た。割引率消去の極限に於ける連立系の粘性解の（部分列を取ることなく）全列収束が成り立つためには連立系の未知関数に関する凸性が必要であることを研究論文として出版した。割引率消去における凸性の必要性についての成果をより正確に言えば、未知関数に関する凸性を持たない連立系の例を挙げ、この例に於いて割引率消去の極限で粘性解が全列収束しないことを示した。この様な例はB. Ziliottoの論文に於いて陰に示されていたが、本研究では全列収束が成立しない見通しの良い新しい例を構成した。境界値問題については、２次元ユークリッド平面における角のある領域に対する非線形ノイマン境界条件を持つ完全非線形退化楕円型境界値問題の研究を進めた。これまでの研究の詳細を再点検し、2次元平面に限定して粘性解に対する比較原理が成立するようなより広いクラスの境界条件を探求したが決定的な結論に至っていない。部分ラプラス(truncated Laplace)作用素を主要項とする微分方程式に対する粘性解と関連する積分方程式についての研究を行った。部分ラプラス作用素におけるラプラス作用素を分数冪ラプラス作用素に置き替えた方程式を対象に据え、非負粘性解の零集合の構造を明らかにした。この成果は専門雑誌に掲載決定している。