非線形偏微分方程式と粘性解の研究

非线性偏微分方程和粘性解的研究

• 批准号: 06640271
• 负责人: 石井 仁司
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Chuo University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1994
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1994 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-06640271/
• 关键词: 粘性解; 非線形偏微分方程式; ハミルトンヤコビ方程式; 平均曲率流; 最適制御; 状態拘束条件; レベル集合アプローチ

非線形退化楕円型および放物型偏微分方程式に対する粘性解の存在,一意性,その応用について研究した.これまでに得られている結果の検討,各地の専門研究者との研究打ち合わせを行い,さらに関連ある研究集会等に出席しながら,研究を進めた.具体的な研究経過としては,まずHamilton-Jacobi方程式に対する境界値問題を扱い,状態拘束条件を持つ最適制御における値関数の満たすような境界条件の定式化を取り扱った.Sonerによる定式化をより精密にし,より適切な境界条件を求めることができた.つぎに,係数に特異性のあるHamilton-Jacobi方程式を研究した.この場合にはDirichlet問題やCauchy問題の粘性解は一般に一意性をもたない.粘性解の定義を工夫することによって,最大解を特徴づけることに成功した.この結果はSiconolfiの最近の結果を大幅に改良するものとなった.界面の時間発展に対するレベル集合アプローチにおいて,特異点をもつ退化放物型方程式が現れる.この特異性が原点以外に現れる場合について,試験関数を工夫することにより,初期値問題あるいは初期値境界値問題の解に対する比較定理が成立することを証明した.このことは,界面の運動が等方性をもたないようなかなり広いクラスの問題に対してもレベル集合アプローチが有効であることを示している.最も典型的な場合である平均曲率流について,ある種の近似解法の収束問題を研究した.Bence,Merriman,Osherによって研究された近似法について,その一般化として熱核を一般のコンボリューション核に置き換えるという発想により新しい近似法を提案し,得られる近似解の平均曲率流への収束を証明した.さらに,関連した研究集会“非線形偏微分方程式研究会"を平成7年1月20,21日の両日に開催した.

The existence of viscous solutions for nonlinear degenerate and radiation-type partial differential equations is studied. The results of this research are discussed, and researchers from all over the world participate in research meetings and conferences. In this paper, we study the boundary value problem of Hamilton-Jacobi equation, state constraint condition, optimal constraint condition, boundary condition, etc. A Study of Hamilton-Jacobi Equations with Coefficient Specificity In this case, the Dirichlet problem and the Cauchy problem have a viscous solution, which is generally uniform. The definition of viscous solution is difficult, and the maximum solution is characterized successfully. The results are substantially improved from the most recent results of Siconolfi. The time evolution of the interface is related to the set of singular points, and the degenerate equation of the emission type is presented. The uniqueness of the problem is not the origin of the problem, but the initial value of the problem. The motion of the interface is isotropy, and the problem of the set of the interface is solved. Bence,Merriman,Osher, et al.(2001). The study of approximate solutions to the bundle of mean curvature flows in the most typical cases.Bence,Merriman,Osher, et al. Today, the related research conference "Non-linear Partial Differential Equation Research Conference" was held on January 20, 21, 2007.

项目成果

石井仁司: "Viscosity solutions of functional differential equations" Advances in Math.Sci.Appl.3. 191-218 (1994)

Hitoshi Ishii：“泛函微分方程的粘度解”Math.Sci.Appl.3 进展 (1994)。

松山善男: "On wroature pinching for totally real submanifold" J.Ramanujan Math.9. 13-24 (1994)

Yoshio Matsuyama：“论完全真实子流形的扭曲”J.Ramanujan Math.9 (1994)。

石井仁司: "粘性解とその応用" 数学. 47(未定). (1995)

Hitoshi Ishii：“粘度解决方案及其应用”数学 47（待定）。

石井仁司: "Generalized motion of noncompact hypersurfaces with velocity having arbitrary growth on the wroature tensor" Tohoku Math.Journal. 47(未定). (1995)

Hitoshi Ishii：“在 wroature 张量上速度任意增长的非紧超曲面的广义运动”Tohoku Math.Journal 47（待定）。

石井仁司: "On the uniqueness and existence of solutions of fully nonlinear parabolic PDE_s under the Osgool type condition" Differential and Integral Equations. 7. 909-920 (1994)

Hitoshi Ishii：“Osgool 型条件下完全非线性抛物型 PDE_s 解的唯一性和存在性”微分和积分方程 7. 909-920 (1994)。