周期写像とモジュライ空間のコンパクト化

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(1)様々なモジュライ空間に対してその微分幾何学的に自然なコンパクと化をいかに具体的に構成し記述するかという問題を集中的に研究しました。例えばファノ多様体のモジュライ空間に関しては、アインシュタインェケーラー計量を介してグロモフ=コンパクト化という微分幾何学的には非常に自然なものが得られていますが、これが具体的には一体どういうものになるか殆ど知られていません。このコンパクト化を満渕及び向井の共同で次数が3と4のデルペヅ曲面の場合に具体的に求めてみました。また一般型の会数多様体の双様体の双有理的なモジュライの自然な微分幾何学的なコンパクト化を求めているという間題から出発して標準環や反標準環のモジュライ空間のコンパクト化を「擬ノルム代数」という概念を導入する事によって行いました。ベクトル束のモジュライのコンパクト化や混合ホッジ構造に於けるウェイトフ.ルトレイションにあたるものが擬ノルム代数に於ても考えられ、また極限混合ホッジ構造を考えるのと同様の方法で極限擬ノルム構造というものも考えられ、これに関しては満渕及び今吉の共同研究があります。(2)周期写像を介したホッジ構造の退化に関するパーシャルコンパクト化の状況の詳しい研究が臼井によって行われた。(3)ケーラー多様体のモジュライ空間の研究にはカラビにより導入されたイクストゥリーマル=ケーラー計量の研究が欠くことのできないものである。これに関してカラビ=レヴィンの結果を精密化した定理の形で、カリフォルニア大学のファン氏と満渕の共同でイクストゥリーマル=ケーラー計量の存在に対する新しい障害を導入しました。これと関連してファノ多様体の正則同型に関するある種の予想を提出しました。