幾何構造の退化とモジュライのコンパクト化

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ここでは複素構造のモジュライ空間のコンパクト化について、我々の研究実績の概要を述べてみようと思う。C_1>0のもの、たとえばdel Pezzo曲面のモジュライのコンパクト化についてはquartic及びouficのものについては微分幾何学的なGromovコンパクト化の構造は何井との共同研究で完全にわかった。これについては最近Tianによってcomplete intersection型のFano多様体に対してEinstein-Kahler計量の存在とstabilityの関係がK-energy写像を介して明らかになるなど新しい展開が起きつつある。一方、一般型の多様体のモジュライ空間のコンパクト化に関しては、階付き擬ノルム代数という微分幾何と代数幾何を結ぶ概念を導入することによって、variation of Hodge structureにおけるlimit mixed Hodge structureにあたる“極限擬ノルム構造"というものが定義され、それによって自然なコンパクト化ができるということがわかるに至った。その副産物としてL^2空間に於ける直交性のL^p空間へのある意味の一般化が得られるという事や、またRoydenのquadratic differentialに対するリーマン面のTorelli型定理がstable cunreのTorelli型定理に一般化されるということが今吉との共同研究で明らかになりつつある。こういったTorelli型の定理の一般次元への拡張という問題も興味深い問題として残っているが、色々な意味でこの話題の更なる発展が真に望まれている。