ジョーンズタイプ不変量のヘガード理論への応用

3次元多様体を表わすヘガードダイアグラムをヘガード曲面上のリンクダアグラムと看做し、曲面Σと直線Rの積空間Σ×Rにおけるリンクの不変量から3次元多様体の位相不変量を得ることを目的とし、これまでの研究でΣ×Rにおけるリンクのジョーンズタイプ不変量F_L(A)を導入し種数1のヘガード分解をもつ3次元多様体のclassに対して3次元多様体の位相不変量を得た。一般の種数の場合、先ず、1)曲面上の自己同相写像及びバンドム-ブによるヘガードダイアグラムの変形に対する不変量(=ヘガード分解の同値不変量)を求め、さらにこの不変量から、2)3次元球面の種数1のヘガードダイアグラムの有限回の連結和によるヘガードダイアグラムの変形に対する不変量(=3次元多様体の位相不変量)を求めるという手順に基づいて本研究を進め、以下の成果を得た。(1)1)の曲面上の自己同相写像によるヘガードダイアグラムの変形に対する不変量と関連して、F_L(A)からΣが向き付けられた閉曲面のときΣ×Rにおけるリンクに対する同相不変量を得た。この結果は不変量F_L(A)の性質の良さを示している。(2)ヘガードダイアグラムに対応するΣ×Rにおけるリンクダイアグラムはhorizontally splittableである。これに関連してリンクの積とF_L(A)が値をもつ自由加群上の積を定義し積公式を得た。その過程で空集合も有向リンクと看做しbracket polynomialのnormalizationを行う必要が生じ、伴ってジョーンズタイプ不変量F_L(A)も修正した。F_L(A)では積公式は成り立たないが修正版では成り立つ。(3)研究手順1)のバンドム-ブによるヘガードダイアグラムの変形に対する不変量、及び2)については具体例の手計算結果の解析やコンピュタ-プログラムの作成等、研究継続中である。

3次元多様体を表わすヘガードダイアグラムをヘガード曲面上のリンクダアグラムと看做し、曲面Σと直線Rの積空間Σ×Rにおけるリンクの不変量から3次元多様体の位相不変量を得ることを目的とし、これまでの研究でΣ×Rにおけるリンクのジョーンズタイプ不変量F_L(A)を導入し種数1のヘガード分解をもつ3次元多様体のclassに対して3次元多様体の位相不変量を得た。一般の種数の場合、先ず、1)曲面上の自己同相写像及びバンドム-ブによるヘガードダイアグラムの変形に対する不変量(=ヘガード分解の同値不変量)を求め、さらにこの不変量から、2)3次元球面の種数1のヘガードダイアグラムの有限回の連結和によるヘガードダイアグラムの変形に対する不変量(=3次元多様体の位相不変量)を求めるという手順に基づいて本研究を進め、以下の成果を得た。(1)1)の曲面上の自己同相写像によるヘガードダイアグラムの変形に対する不変量と関連して、F_L(A)からΣが向き付けられた閉曲面のときΣ×Rにおけるリンクに対する同相不変量を得た。この結果は不変量F_L(A)の性質の良さを示している。(2)ヘガードダイアグラムに対応するΣ×Rにおけるリンクダイアグラムはhorizontally splittableである。これに関連してリンクの積とF_L(A)が値をもつ自由加群上の積を定義し積公式を得た。その過程で空集合も有向リンクと看做しbracket polynomialのnormalizationを行う必要が生じ、伴ってジョーンズタイプ不変量F_L(A)も修正した。F_L(A)では積公式は成り立たないが修正版では成り立つ。(3)研究手順1)のバンドム-ブによるヘガードダイアグラムの変形に対する不変量、及び2)については具体例の手計算結果の解析やコンピュタ-プログラムの作成等、研究継続中である。