曲面と直線の積空間におけるリンクのジョーンズタイプ不変量と応用

面与直线乘积空间中的琼斯型链接不变量及其应用

• 批准号: 05230007
• 负责人: 金戸 武司
• 金额: $ 0.38万
• 依托单位: University of Tsukuba
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research on Priority Areas
• 财政年份: 1993
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1993 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-05230007/
• 关键词: リンク; 3次元多様体; 曲面; ジョーンズ多項式; レンズ空間; カーフマンブラケット; ヘガード分解

曲面Σと直線Rの積空間Σ×R内のlinks Lに対し,射影P:Σ×R→ΣとReidemeister movesを用いてKauffmanブラケットのideaに基づき,アイソトピー不変量<L)_<-1>(但し,A=-1)とその精密化であるJones type不変量F_L(A)(但し,Σは向き付け可能)を定義し,交付申請書の研究目的・実施計画に沿って以下の成果を得た。1.Σ=P^2(射影平面)の場合。Lの成分数をkとすると,<L)_<-1>の値は(1)〔L〕〓0 in H_1(Σ×R,Z_2)のとき(-2)^<k-1>,(2)〔L〕〓0のとき(-2)^<k-1><K)(但し,KはP^2内のnon trivial knot)。これは古典的link theory(即ち,R^3におけるlink theory)のJones多項式に関する類似結果と言えるが,理論的にはx+y<K)(x,y〓Z)の形を取り得るにもかかわらず,実際はx≠0かつy≠0の形は生じない点は意外であった。2.Σ=T^2(トーラス)の場合。レンズ空間の種数1のHeegaard diagramsに関連する2-成分のlinks Lについて,F_L(A)を具体例について計算し,それらの間に成り立つ一般的関係を得た。応用として,レンズ空間全体のclassにおける位相的不変量を得た。以上は研究目的(1),(3)に関する成果であり,上記2で用いた手法は研究目的(2)と関連する。(詳細については井上芳里氏との共著のpreprint(投稿中)がある。)3.上記2での手法を用いて研究目的(2)とはやや異なるがΣ上のmapping classesを利用してlinks Lのup to homeomorphism(≠up to isotopy)不変量が得られつつある。今後の展開として,Σが向き付け可能で種数2(以上)の場合について,研究代表者の主目標である研究目的(3)の本格的な進展を,上記の成果(特に2,3)を踏えた方向で図りたい。

The product of curved surfaces and straight lines R in the space Σ×R links L in pairs, projections P:Σ×R→Σ and Reidemeister moves are defined by using the Kauffman's concept as the basis for <-1>the Jones type variable F_L(A)(but A=-1), and the research objectives of the submission application and the implementation plan are achieved along the following lines. 1. When Σ=P^2(projective plane). L component k,&lt;L)_<-1>(1)[L] 0 in H_1(Σ×R,Z_2)(-2)^<k-1>,(2)[L] 0 (-2)^<k-1>&lt;K)(but K non triangular knot in P^2). The classical link theory(i.e., R^3 link theory) and Jones polynomial are similar to each other. The theoretical x+y&lt;K)(x,y Z) and its shape are obtained by 2.Σ=T^2(τ φ π ε). The number of Heegaard diagrams in the space 1 is related to the number of 2-component links L,F_L(A) is calculated for a specific example, and the number of Heegaard diagrams in the space 1 is related to the number of 2-component links L,F_L(A) is calculated for a specific example. In this case, the entire class of the space is not measured. The above research objectives (1) and (3) are related to the results, and the above 2 is related to the research objectives (2). (Detailed 3. 2. The purpose of this study is to make use of links L up to homesomorphism (≠up to isotropy) without any change. In the future, there will be 2(or more) possible ways to expand the scope of research, and the main purpose of the research representative will be to study the progress of the research purpose (3). The results (especially 2, 3) will be recorded in the direction of research.