大域解析学における諸問題の研究

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本年度の当研究は主として非線形偏微分方程式の取り扱いとその幾何学的考察を主として行なった。研究代表者前田は、共同研究者及び国内の研究者と主に以下の様な共同研究を行い、成果をあげた。1)局所等長理入問題と非線形偏微分方程式系のC^∞解の可解性問題;解析デ-タに対する可解性問題は解決されているが、C^∞デ-タに対するものは今まで、未解決である。ここでは、3次元リ-マン多様体の6次元ユ-クリッド空間に等長理入する問題で、断面曲率が0にならない場合の存在を示した。技術的には、非線形主要部型偏微分方程式のC^∞可解性を作ることに成功した。2)Yang-Mills gradient flowの安定性の研究;数理物理で取り扱われる変分問題の中で重要な研究テ-マの1つであるYang-Mills場のエネルギ-関数に対するGradient flowの安定性を調べた。この方程式は退化する非線型方物型になるが、ゲ-ジ変換を利用して、Gradient flow方程式の解を求めることに成功し、そのエネルギ-評価を与えた。3)ワイル多様体と量子化問題の研究;シンプレクティック多様体の上部構造を思われるべきワイル多様体の概念の構成とそれらの性質についての研究を行なった。特に、シンプレクティック多様体が常に変形量子化可能であることが示せた。ワイル多様体は、形式的微分作用素の作る代数を乗とする代数束であり、それを形式的Fouriev積分作用素で貼り合わせたものである。今後量子論の幾何学的立場からの研究に重要な役割を果すと思われる。その他共同研究者谷による4)流体方程式の自由境界に関する結果、菊池による5)変分問題の解の正則性の研究、伊藤による6)エルゴ-ド理論の立場からのフォンノイマン環の研究、石井による7)3次元多様体のFlowを用いた解明等に多くの成果が得られた。