リーマン幾何学の組合せ論的研究

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この研究は、リーマン幾何を組合せ論的に幾通りかの方法で扱ってみようとするものであった。まず、n次元多様体に辺の長さ一定な単体分割を固定した場合に関しては、曲率を余次元2の単体の周りに集まるn次元単体の個数として定めると、3次元以上では、定曲率にあたるものは、単連結を仮定すれば、正多面体のみとなることが分かったが、非正の定曲率にあたるものが存在せず、極めて狭いものとなってしまった。また、リッチ曲率にあたるものの1つの定義を試み、Bishop-Gromovの比較定理のアナロジーの証明の方針はたったが、残念ながら厳密な証明をまとめるまでには至っていない。次に、単体分割の単体の辺の長さを自由にした場合(PL)に関しては、その最小跡(cut locus)の局所構造が、2次元では完全に、一般次元でもある種の正曲率の仮定の下では、帰納的に決定することが出来た。更に、距離関数の臨界点での指数を扱うことによって、その大域構造についてもある種のハンドル分解が可能であることが分かった。これらの事実は、PLの場合のみでなく、区分的定曲率空間の場合にも同様に導くことができ、論文にまとめている所である。更に、このことを用いてリーマン幾何の曲率と位相との関連の問題、例えば、概ブラシュケ予想や、正曲率多様体の下からの直径評価の問題等、の解決の道が開け、今後の発展が期待される。また、現在はプレプリントの段階であるが、2次元区分的定曲率空間のある場合に、最小跡がフラクタル集合となる例の構成に成功し、それ以上滑らかな場合には、Ambroseの問題の解決につながった。これらのことから今後、区分的定曲率空間の幾何学が、リーマン幾何の研究に有益であることが、実証されつつあるものと思われる。