リーマン幾何学の組合せ論的研究

黎曼几何的组合研究

• 批准号: 05740064
• 负责人: 伊藤 仁一
• 金额: $ 0.51万
• 依托单位: Kyushu Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1993
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1993 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-05740064/
• 关键词: PL-多様体; 区分的定曲率空間; 曲率と位相; 最小跡(Cut locus); 距離関数; 臨界点; 直径; ブラシュケ多様体

この研究は、リーマン幾何を組合せ論的に幾通りかの方法で扱ってみようとするものであった。まず、n次元多様体に辺の長さ一定な単体分割を固定した場合に関しては、曲率を余次元2の単体の周りに集まるn次元単体の個数として定めると、3次元以上では、定曲率にあたるものは、単連結を仮定すれば、正多面体のみとなることが分かったが、非正の定曲率にあたるものが存在せず、極めて狭いものとなってしまった。また、リッチ曲率にあたるものの1つの定義を試み、Bishop-Gromovの比較定理のアナロジーの証明の方針はたったが、残念ながら厳密な証明をまとめるまでには至っていない。次に、単体分割の単体の辺の長さを自由にした場合(PL)に関しては、その最小跡(cut locus)の局所構造が、2次元では完全に、一般次元でもある種の正曲率の仮定の下では、帰納的に決定することが出来た。更に、距離関数の臨界点での指数を扱うことによって、その大域構造についてもある種のハンドル分解が可能であることが分かった。これらの事実は、PLの場合のみでなく、区分的定曲率空間の場合にも同様に導くことができ、論文にまとめている所である。更に、このことを用いてリーマン幾何の曲率と位相との関連の問題、例えば、概ブラシュケ予想や、正曲率多様体の下からの直径評価の問題等、の解決の道が開け、今後の発展が期待される。また、現在はプレプリントの段階であるが、2次元区分的定曲率空間のある場合に、最小跡がフラクタル集合となる例の構成に成功し、それ以上滑らかな場合には、Ambroseの問題の解決につながった。これらのことから今後、区分的定曲率空間の幾何学が、リーマン幾何の研究に有益であることが、実証されつつあるものと思われる。

In the course of research and research, how to organize the method of discussion. The number of n-dimensional polyhedral bodies, n-dimensional poly I don't know. I don't know. I don't know. Curvature, curvature, Bishop-Gromov, curvature, curvature and curvature. In the second and third dimension, the body is free to fit (PL), the minimum (cut locus) is created, the second dimension is complete, the general dimension is the positive curvature, and the decision is to get out of the box. The number of distances, the number of distances, the index of the boundary point, the index of the boundary point, and the index of the distance, distance, distance and distance from each other. Please contact me for the event, the PL, the space with constant curvature, the space with the same curvature, and the text as well. In order to solve the problem of how to solve the problem of curvature phase, the problem of curvature, the problem of diameter, etc., and so on, the solution will begin, and we will look forward to the future. Now, the two-dimensional space filter with constant curvature, the minimum one, and the solution to the problem of Ambrose are successful, and so on. In the future, the study of the space with constant curvature is beneficial to the study of the space with constant curvature in the future.