リーマン幾何学の組合せ論的研究

黎曼几何的组合研究

• 批准号: 05740064
• 负责人: 伊藤 仁一
• 金额: $ 0.51万
• 依托单位: Kyushu Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1993
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1993 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-05740064/
• 关键词: PL-多様体; 区分的定曲率空間; 曲率と位相; 最小跡(Cut locus); 距離関数; 臨界点; 直径; ブラシュケ多様体

この研究は、リーマン幾何を組合せ論的に幾通りかの方法で扱ってみようとするものであった。まず、n次元多様体に辺の長さ一定な単体分割を固定した場合に関しては、曲率を余次元2の単体の周りに集まるn次元単体の個数として定めると、3次元以上では、定曲率にあたるものは、単連結を仮定すれば、正多面体のみとなることが分かったが、非正の定曲率にあたるものが存在せず、極めて狭いものとなってしまった。また、リッチ曲率にあたるものの1つの定義を試み、Bishop-Gromovの比較定理のアナロジーの証明の方針はたったが、残念ながら厳密な証明をまとめるまでには至っていない。次に、単体分割の単体の辺の長さを自由にした場合(PL)に関しては、その最小跡(cut locus)の局所構造が、2次元では完全に、一般次元でもある種の正曲率の仮定の下では、帰納的に決定することが出来た。更に、距離関数の臨界点での指数を扱うことによって、その大域構造についてもある種のハンドル分解が可能であることが分かった。これらの事実は、PLの場合のみでなく、区分的定曲率空間の場合にも同様に導くことができ、論文にまとめている所である。更に、このことを用いてリーマン幾何の曲率と位相との関連の問題、例えば、概ブラシュケ予想や、正曲率多様体の下からの直径評価の問題等、の解決の道が開け、今後の発展が期待される。また、現在はプレプリントの段階であるが、2次元区分的定曲率空間のある場合に、最小跡がフラクタル集合となる例の構成に成功し、それ以上滑らかな場合には、Ambroseの問題の解決につながった。これらのことから今後、区分的定曲率空間の幾何学が、リーマン幾何の研究に有益であることが、実証されつつあるものと思われる。

This study is based on the theory of geometry. The number of n-dimensional units in the set of units with a constant curvature is fixed. The number of units with a constant curvature is fixed. The definition of Bishop-Gromov's comparison theorem and the proof of Bishop-Gromov's comparison theorem are discussed in detail. The length of the unit is free in the second dimension (PL), and the minimum cut locus is constructed in the second dimension (PL). The positive curvature of the unit is determined in the second dimension (PL). In addition, the index of the critical point of the distance is divided into two parts. In the case of PL, in the case of constant curvature space, in the case of differentiation, in the case of constant curvature space, in the case of constant curvature In addition, the problem of geometric curvature and phase correlation, example, concept, diameter evaluation under positive curvature multi-parameter, etc., the solution is open, and the future development is expected. The problem of solving Ambrose's problem is solved in the case where the minimum trace of the constant curvature space of the two-dimensional partition is successfully formed. In the future, it is useful to distinguish the geometry of constant curvature space and the geometry of space.