最小跡の構造とリーマン計量

最小迹结构和黎曼度量

• 批准号: 08640126
• 负责人: 伊藤 仁一
• 金额: $ 1.41万
• 依托单位: Kumamoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08640126/
• 关键词: 最小跡; リーマン多様体; リーマン計量; ハウスドルフ次元; ハウスドルフ速度; フラクタル; 距離関数; 有界変動

リーマン多様体の1点の最小跡について,曲面の場合には,C^2級のリーマン計量ならば最小跡の長さは有限となることが示され,Ambroseの問題(曲面)が肯定的に解決した.また,最小跡がフラクタル集合となるC^<1,1>級リーマン計量が存在することとも示されている.本研究では,これらの事実の一般次元の場合について調べ,以下のような結果を得た.1.最小跡がフラクタル集合によるのはいつか?を決定した.任意の自然数κに対して,C^κ級リーマン計量で最小跡がフラクタル集合になるものを構成した.C^∞級リーマン計量では,フラクタル最小跡はないことを田中(分担者)との共同研究で示した.どちらの結果も,現在,執筆を終え投稿準備中である.2.最小跡の面積(n-1次元Hausdorff測度)が無限になるのはいつか?に関しては,C^2級リーマン計量で最小跡が面積無限大となる例を構成した.C^3級リーマン計量では,面積有限となることは,3の問題がC^3級で肯定的に解けれれば,その系となることが分かった.3.最小跡はrectifiableになるか?に関しては,単位接空間ではの大円弧上の点を初期方向とする測地線の最小跡までの距離関数の有界変動性を示すことにより,肯定的な解決を試みているが,今の所,完全な解決には至っていない.しかし,第1共役跡までの距離関数のLipschitz性(田中との結果)と,曲面の最小跡が長さ有限となる証明のアイデアを用いて,特殊な場合を除けば解決したので,このままの方向で研究を続けることが望ましい.この証明に成功すれば,最小跡に距離空間として曲率を導入することもでき,最小跡の幾何学の発展が期待される.4.一般次元のAmbroseの問題.計量の滑らかさと,最小跡がある意味でtree的な構造をしているという条件下では,部分的解決が期待され,また,3次元以上では一般には,反例が構成できるのではないかと思われるが,解決には至っていない.しかし,大域リーマン幾何への応用としては,この問題が,今後,重要になるものと思われる.無限遠点の最小跡の構造の解明の必要性や,閉曲線の頂点とその最小跡の構造との関係なども,最近,指摘されており,この研究の重要性と継続の必要性が益々増してきている.

The minimum trace of 1 point in a multi-dimensional object can be determined by the method of C^2. The minimum trace is set to C^<1,1>, and the metric exists. In this study, the following results are obtained: 1. The minimum trace of the set is the minimum trace of the set. Decide. Any natural number κ,C^κ, K ^, K 2. Minimum trace area (n-1 dimensional Hausdorff measure) Infinite trace area (n-1 dimensional Hausdorff measure) C^2-level measurement is the smallest trace of infinite area. C^3-level measurement is the smallest trace of infinite area. C^3-level measurement is the smallest trace of infinite area. The initial direction of the point on the large circle arc of the single position contact space, the minimum trace of the geodesic line, the bounded variability of the distance, the positive solution, the solution, and the solution. The Lipschitz property of the distance relation of the first common trace (Tanaka's result), the finite length of the minimum trace of the surface, the proof of the distance relation, the special case, the solution of the distance relation, the direction of the study. The proof is successful. The minimum trace distance space and curvature are introduced. The geometric development of the minimum trace is expected. 4. Ambrose problem of general dimension. Measurement of slip, minimum trace, meaning, structure of tree, partial solution, expectation, three-dimensional or more, general solution, counterexample, composition, solution, solution, etc. In the future, it will be important to think about it. Recently, the importance and necessity of studying the structure of the minimum trace of the infinite point are increasing.

项目成果

山本信也: "大正期の中学校初学年における幾何教授の議論と実践" 熊本大学教育学部紀要(人文科学). 45. 13-31 (1996)

山本慎也：《大正时期初中一年级几何教学的讨论与实践》熊本大学教育学部通报（人文学科）45. 13-31（1996）。

Y.Hiramine & C.Suetake: "On tactical decomposition of class number 2" Geometriae Dedicata. 62. 35-52 (1996)

平峰勇

M.Tanaka & K.Shiohama: "Cut loci and distance spheres on Alexandrov surfaces" Se'minaires & Congre‘s,Collection de SMF,Actes de la table ronde de ge'ometrie diffe'rentielle en I'honner de Marcel Berger. 531-560 (1996)

M. Tanaka 和 K. Shioham：“在 Alexandrov 曲面上切割轨迹和距离球”Seminaires & Congres，Collection de SMF，Actes de la table ronde de geometrie differentielle en Ihonner de Marcel Berger 531-。 560 (1996)

Y.Hiramine & N.Johnson: "Nets of order p^2 and degree p+1 admitting SL(2,p)" Geometriae Dedicata. (発表予定).

Y.Hiramine 和 N.Johnson：“允许 SL(2,p) 的 p^2 阶和 p+1 阶网络”Geometriae Dedicata（即将呈现）。

Jin-ichi Itoh: "The length of cut locus on a surface and Ambrose's problem" Journal of Differential Geometry. 43. 642-651 (1996)

Jin-ichi Itoh：“曲面上切割轨迹的长度和安布罗斯问题”《微分几何杂志》。