区分的定曲率空間の幾何学

分段常曲率空间的几何

• 批准号: 07640125
• 负责人: 伊藤 仁一
• 金额: $ 1.41万
• 依托单位: Kumamoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-07640125/
• 关键词: 区分的定曲率空間; 多面体; 測地線; 最小跡; 曲率; 位相同型

本研究は2つの部分からなる.1つは,区分的定曲率であることより,測地線の挙動が一般のリーマン多様体の場合より,把握し易いことから,その最小跡の構造を解析し,区分的定曲率多様体の曲率と位相との関連を調べ,リーマン多様体の場合と比較,検討しようというものである.もう1つは,区分的定曲率のうち,特に区分的平坦な多様体(以下では簡単のため多面体と呼ぶ)の場合に限って,その組合せ論的扱い方を摸索するものである.前者においては,特異点で非負に曲がっている区分的定曲率空間の最小跡の局所構造は,錘構造をもっていること,また,距離関数を用いてある種のhandle分解ができることを示した(現在,執筆中).リーマン幾何の問題として知られる概Blaschke予想(リーマン多様体で,直径と単射半径とが近ければ,階数1の対称空間に位相同形か?)の区分的定曲率多様体の場合には,本質的には,上述の最小跡の構造を用いて,肯定的に解決できる見通しが得られた.しかし,本来の概Blaschke予想の解決のためには,更に,本質的な問題「断面曲率がK以上のリーマン多様体を,特異点で非負に曲がっている区分的に曲率が一定値Kの多様体で近似可能か?」が残される.これに関しては,区分的平坦で,特異点では全て正曲率(0でない)多様体では,近似不可能であることが,Cheegerによって示されており,現在の所,難しい問題である.もう少し,弱い形で示し,概Blaschke的であることを用いることを検討する必要があるかもしれない.後者の多面体の幾何に関しては,かなり進展があったことを以下に報告する.まず,基本的な問題として,リーマン幾何の出発点ともなった,古典的曲面論におけるガウスの驚異の定理(外在的曲率と内在的曲率とが一致する)の3次元ユークリッド空間内の多面体におけるアナロジーが,大体,成立する(mod 4πで一致する)ことの極めて初等的な証明が与えられ,更に,完全には一致しない例も存在することが示された(現在,執筆中).また,一般次元の場合にも,本質的な部分となる球面の体積の組合せ公式の見当がついた(すでに,知られているものかどうか現在,検討中).最近,断面曲率が1に近い超曲面が,大体丸い(単位球とハウスドルフ距離が近い)ということが報告されている.しかし,断面曲率でなくガウス・クロネッカー曲率が1に近いという仮定のもとで示されることが期待される.これに対して多面体の場合には,ミンコフスキーの定理(1897)を用いて証明することができ,近似することで超曲面の場合にも解決した(現在,執筆中).これらの例から,ユークリッド空間内の余次元1の多面体に対しては,組合せ論的な扱い方が古来からいくらか知られているようであるが,その再発見の重要さが示されたものと思われる.この方面の今後の発展が期待される.最後に,離散ラプラシアンのスペクトル問題に対しても,多面体の1-skeltonをグラフと扱うのが有効であること,また,数学教育の面からも,多面体の幾何が今後,その重要性をますことが分かった.

This study は 2 つ の part か ら な る. 1 つ は, distinguish the constant curvature で あ る こ と よ り, geodesic の 挙 dynamic が general の リ ー マ ン others more body の occasions よ り, grasp し easy い こ と か ら, そ の minimum trace analytical し を の construction, to distinguish the constant curvature of many others in body の curvature と phase と の masato even を べ, リ ー マ ン と compare others body の situations, more beg し 検 よ う と い う も の で あ る. も う 1 つ は, distinguish the constant curvature の う ち, flat な に distinguish of many others in the body (the following で は Jane 単 の た め polyhedron と shout ぶ) の occasions に limit っ て, そ の combination theory of せ Cha い party を fumble す る も の で あ る. The former に お い て は, specific point で nonnegative に qu が っ て い る の minimum mark to distinguish the constant curvature space の は bureau construction, hammer structure を も っ て い る こ と, ま た, distance number of masato を with い て あ る kind の handle decomposition が で き る こ と を shown し た (now in the pen). リ ー マ の ン geometry problem と し て know ら れ る Blaschke to Think (リ, リ, で, <s:1>, polymorphic body で, diameter と単, radii とが, near ければ, order 1 <s:1>, symmetrical space に, position identical shape?) の distinguish constant curvature of many others in body の occasions に は, the nature of に は, の above the minimum trace を の structure with い て, certainly に solve で き る see tong し が must ら れ た. し か し, originally の is Blaschke to think の solve の た め に は, more に, nature な problems "section curvature が K の リ ー マ ン を others body, more specific point で nonnegative に qu が っ て Is it possible that the に curvature of the に distinguished by the る is always worth K and the で approximation of the <s:1> polymorphism is で? が residual さ れ る. こ れ に masato し て は, distinguish between the flat で, specific point で は て all positive curvature (0 で な い) more than the others in body で は, approximate impossible で あ る こ と が, Cheeger に よ っ て in さ れ て お り, what の, now difficult し い problem で あ る. も う し less, weak い form で し, almost Blaschke で あ る こ と を with い る こ と Youdaoplaceholder0 to する it is necessary to がある れな れな れな. The latter の polyhedron の geometric に masato し て は, か な り progress が あ っ た こ と を に report below す る. ま ず, basic な problem と し て, リ ー マ ン geometric の と 発 point も な っ た, classical theory of surface に お け る ガ ウ ス の amazing の theorem (external curvature と internal curvature と が consistent す る) の 3 dimensional ユ ー ク リ ッ の polyhedron に ド space Youdaoplaceholder0 おけるアナロジ が が, roughly, it holds する(mod) 4 PI consistent で す る) こ と の extremely め て elementary な prove が and え ら れ, more に, completely に は consistent し な い cases exist も す る こ と が shown さ れ た (now in the pen). ま た, general dimensional の occasions に も, essential part な と な る spherical の の combination せ volume formula の see when が つ い た (す で に, know ら れ て い る も の か ど う か now, Youdaoplaceholder0 (Chinese) Recently, the section curvature が に nearly 1 い hypersurface が, general pill い (単 ball と ハ ウ ス ド ル フ が close い) と い う こ と が report さ れ て い る. し か し, section curvature で な く ガ ウ ス · ク ロ ネ ッ カ ー curvature が に nearly 1 い と い う 仮 set の も と で shown さ れ る こ と が expect さ れ る. こ れ に し seaborne て polyhedron の occasions に は, ミ ン コ フ ス キ ー の theorem (1897) を い て prove す る こ と が で き, approximate す る こ と で hypersurface の occasions に も solve し た (now in the pen). こ れ ら の example か ら, ユ ー ク リ ッ の ド space more than RMB 1 の polyhedron に し seaborne て は, combination theory of せ な Cha い party since ancient が か ら い く ら know か ら れ て い る よ う で あ る が, そ の In the future, we will continue to see important さが information された された <s:1> と thoughts われる. Regarding <s:1>, we are looking forward to its future development が and される. Finally に, discrete ラ プ ラ シ ア ン の ス ペ ク ト ル problem に し seaborne て も, polyhedron の 1 - skelton を グ ラ フ と Cha う の が have sharper で あ る こ と, ま た, mathematics education の surface か ら も, polyhedron の geometric が in future, そ の importance を ま す こ と が points か っ た.

项目成果

山本信也: "「幾何学的直観教授」の日本的改作" 数学教育論文発表会論文集. 28. 597-602 (1995)

Shinya Yamamoto：“‘几何直觉教学’的日本改编”数学教育论文会议记录 28. 597-602 (1995)。

Tadayashi KANEMARU: "A remark on a distribution theorem in several complex variables" 数理解析研究所講究録. 917. 7-14 (1995)

Tadayashi KANEMARU：“关于几个复变量的分布定理的评论”数学研究所 Kokyuroku。917. 7-14 (1995)

岡崎宏光,佐々木智征,大和宏明: "初等幾何定理の大量生産(I)" 九州数学教育学研究. 2. 24-29 (1995)

冈崎弘光、佐佐木智之、大和弘明：《初等几何定理的量产（一）》九州数学教育研究2.24-29（1995）。

Jin-ichi ITOH: "The length of cut locus in a surface and Ambrose's problem" Journal of Differential Geometry. (発表予定).

Jin-ichi ITOH：“曲面中切割轨迹的长度和安布罗斯问题”《微分几何杂志》（待出版）。

Kazuo Suzuki: "Normality of the elementary subgroups of twisted chevalley groups over commutative rings" Journal of Algebra. 175. 526-536 (1995)

Kazuo Suzuki：“交换环上扭曲谢瓦利群的基本子群的正规性”代数杂志。