平坦な共形構造を許容する多様体の分類および平坦な共形構造のモデュライ空間の構造

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準備中の論文"The Teichmuller distance on the space of flat conformal structures"において、コンパクト多様体上の平坦な共形構造の空間(正確には、平坦な共形構造のTeichmuller空間)に擬等角写像を用いて自然に定義される擬距離が、完備な距離(以下Teichmuller距離と呼ぶ)になっていることを示した。この距離は、古典的な、Riemann面のTeichmuller空間上のTeichmuller距離の高次元化になっており、コンパクト多様体上の平坦な共形構造のTeichmuller空間の構造を定量的に調べるための有効な手段になることが期待される。一方で、ある条件を満たす、コンパクトで共形的に平坦な多様体のTeichmuller空間のある連結成分は、Klein群の変形空間に埋め込めることも証明できた。これを通して、共形的に平坦な多様体の連結和に関する素分解とそれによる平坦な共形構造の変形をKlein群の自由積への分解と対応させることができる。また、この場合には、共形的に平坦な多様体の曲率と密接な関連を持つKlein群の臨界指数が、上述のTeichmuller距離に関して良い挙動を示すことも確かめられた。さらに、投稿中の論文"Limit sets of Klinian groups and conformally flat Riemannian manifolds"において、ある種のKlein群の剛性に関する予想が肯定的に解決された。このことの応用として、リッチ曲率が負であるような共形的に平坦な計量を許容しない3次元Klein多様体を分類することができた。