Analysis und Geometrie von Differentialoperatoren und stochastischen Prozessen auf unendlichdimensionalen Räumen

无限维空间上微分算子和随机过程的分析和几何

• 批准号: 5276364
• 负责人: Professor Dr. Michael Röckner
• 金额: --
• 依托单位: Arbeitsgruppe Stochastische Analysis
• 依托单位国家: 德国
• 项目类别: Research Units
• 财政年份: 2000
• 资助国家: 德国
• 起止时间: 1999-12-31 至 2005-12-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://gepris.dfg.de/gepris/projekt/5276364?language=en
• 关键词: Analysis; und; Geometrie; von; Differentialoperatoren

Das Verhalten von stochastischen Systemen mit unendlich vielen Freiheitsgraden [wie z.B. unendliche wechselwirkende Teilchensysteme, deren Dynamik durch eine stochastische (partielle) Differentialgleichung gegeben ist] läßt sich im Markovschen Fall analytisch über den infinitesimalen Generator ihrer Übergangswahrscheinlichkeiten beschreiben. Dieser Generator ist ein (Pseudo-)Differentialoperator der Ordnung (höchstens) 2 in unendlich vielen Variablen. Bei Systemen mit sehr singulären Wechselwirkungen sind entsprechend die Koeffizientenfunktionen des Operators singulär. Wie in endlichen Dimensionen ist zu dessen Analyse die Entwicklung einer geeigneten LP-Theorie in unendlich vielen Dimensionen notwendig, d.h.: ein unendlichdimensionales Analogon der klassischen Sobolevraum-Theorie. Da auf unendlichdimensionalen Räumen kein Lebesguemaß existiert, ist es zunächst erforderlich, ein dem Operator und der jeweiligen zugrunde liegenden Geometrie angepaßtes Referenzmaß zu konstruieren. Typischerweise sind (sub)invariante Maße des Operators [d.h.: verallgemeinerte (super)harmonische Funktionen des dualen Operators] dazu geeignet. Anschließend kann der Operator in den zugehörigen LP-Sobolevräumen genau analysiert werden, und es können Rückschlüsse auf spezielle Eigenschaften des zu untersuchenden stochastischen Systems gezogen werden. Im einzelnen sollen u.a. folgende Themen dazu bearbeitet werden: - A priori Abschätzungen, Existenz, Eindeutigkeit und Regularität (sub-)invarianter Maße µ - Existenz und Eindeutigkeit einer Erweiterung des Operators, der eine Halbgruppe auf LP(µ) erzeugt, die die verlangten Übergangswahrscheinlichkeiten beschreibt - Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der zugrunde liegenden stochastischen (partiellen) Differentialgleichung - Untersuchung von Spektraleigenschaften des Operators aufLP(µ), insbesondere hinsichtlich der Asymptotik der Langzeitentwicklung des stochastischen Systems - Fallstudien/Anwendungen: stochastische Burgers und NavierStokes Gleichungen, stochastische Quantisierung, singuläre Diffusionen auf Rd, Klassen maßwertiger Diffusionen, Diffusionsoperatoren auf Pfad- und Schleifenräumen über Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

随机系统的可靠性有无限的自由度[如z.B. Unendliche wechselwirkende Teilchensysteme，deren Dynamik durch eine stochastische（partielle）Differentialleichung gegeben ist] läßt sich im Markovschen Fall analytisch über den infinitesimalen Generator ihrer Übergangswahrscheinlichkeiten beschreiben。Dieser生成器是一个在无穷多个变量中的有序（höchstens）2的（伪）微分算子。Bei Systemen mit sehr singulären Wechselkungen sind entsprechend die Koeffizientenfunktionen des Operators singulär. Wie in endlichen extensionen ist zu dessen分析发展中的一个基本LP理论，在unendlich vielen extensionen notwendig，d.h.：经典Sobolevraum-Theorie的无限维类比。Da auf unendlichdimensionalen Räumen kein Lebesguemaesthettiert，is zunächst erforderlich，ein dem Operator und der jeweiligen zurunde liegenden Geometrie angepaßtes Referencezmastrizzu konstruieren. Typischerweise sind（sub）invariante Maße des Operators [d.h.：二元运算符的超调和函数[verallgemeinerte（super）harmonische Funktionen des dualen Operators] dazu geignet.在一般韦尔登系统中，线性规划算子的选取是一般分析的一种方法，而在一般随机韦尔登系统中，则是一种特殊的本征函数。我是唯一一个在美国定居的人。folgende Themen dazu bearbeitet韦尔登：- 先验Abschätzungen，abstitenz，Eindeutigkeit und Regularität（sub-）invarianter Maße µ -abstitenz und Eindeutigkeit einer Erweiterung des Operators，der eine Halbgruppe auf LP（µ）erzeugt，这些由随机产生的随机场所产生的非线性运动被认为是一种非线性运动，并被认为是一种非线性运动（partiellen）Differentialleichung- Untersuchung von Spektraleigenschaften des Operators aufLP（μ），insbesondere hinsichtlich der Asymptotik der Langzeitentwicklung des stochastischen Systems - Fallstudien/Anwendungen：随机Burgers und NavierStokes Gleichungen，随机量化，singuläre Diffusionen auf Rd，Klassen maßwertiger Diffusionen，Diffusionsoperatoren auf Pfad- und Schleifenräumen über Riemannschen Mannigfaltigkeiten.