Analysis und Geometrie von Differentialoperatoren und stochastischen Prozessen auf unendlichdimensionalen Räumen

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Das Verhalten von stochastischen Systemen mit unendlich vielen Freiheitsgraden [wie z.B. unendliche wechselwirkende Teilchensysteme, deren Dynamik durch eine stochastische (partielle) Differentialgleichung gegeben ist] läßt sich im Markovschen Fall analytisch über den infinitesimalen Generator ihrer Übergangswahrscheinlichkeiten beschreiben. Dieser Generator ist ein (Pseudo-)Differentialoperator der Ordnung (höchstens) 2 in unendlich vielen Variablen. Bei Systemen mit sehr singulären Wechselwirkungen sind entsprechend die Koeffizientenfunktionen des Operators singulär. Wie in endlichen Dimensionen ist zu dessen Analyse die Entwicklung einer geeigneten LP-Theorie in unendlich vielen Dimensionen notwendig, d.h.: ein unendlichdimensionales Analogon der klassischen Sobolevraum-Theorie. Da auf unendlichdimensionalen Räumen kein Lebesguemaß existiert, ist es zunächst erforderlich, ein dem Operator und der jeweiligen zugrunde liegenden Geometrie angepaßtes Referenzmaß zu konstruieren. Typischerweise sind (sub)invariante Maße des Operators [d.h.: verallgemeinerte (super)harmonische Funktionen des dualen Operators] dazu geeignet. Anschließend kann der Operator in den zugehörigen LP-Sobolevräumen genau analysiert werden, und es können Rückschlüsse auf spezielle Eigenschaften des zu untersuchenden stochastischen Systems gezogen werden. Im einzelnen sollen u.a. folgende Themen dazu bearbeitet werden: - A priori Abschätzungen, Existenz, Eindeutigkeit und Regularität (sub-)invarianter Maße µ - Existenz und Eindeutigkeit einer Erweiterung des Operators, der eine Halbgruppe auf LP(µ) erzeugt, die die verlangten Übergangswahrscheinlichkeiten beschreibt - Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der zugrunde liegenden stochastischen (partiellen) Differentialgleichung - Untersuchung von Spektraleigenschaften des Operators aufLP(µ), insbesondere hinsichtlich der Asymptotik der Langzeitentwicklung des stochastischen Systems - Fallstudien/Anwendungen: stochastische Burgers und NavierStokes Gleichungen, stochastische Quantisierung, singuläre Diffusionen auf Rd, Klassen maßwertiger Diffusionen, Diffusionsoperatoren auf Pfad- und Schleifenräumen über Riemannschen Mannigfaltigkeiten.