有限グラフの高次連結度の計算とベッチ数列の消滅理論

有限图的高阶连通性计算和Betti序列的消失理论

• 批准号: 09874047
• 负责人: 日比 孝之
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 1997
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1997 至 1999
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09874047/
• 关键词: 凸多面体; 有限グラフ; グレブナー基底; イニシャル イデアル; トーリック イデアル; 単項式順序; 辞書式順序; 逆辞書式順序; 多項式環; 外積代数; Kruskal-Katona定理; squarefree単項式イデアル; 次数付ベッチ数列; generic initial ideal; 強安定単項式イデアル; 高次連結度; ベッチ数列; 有限自由分解; 有限半順序集合; 単体的複体; Gotzmann定理

平成11年度は,いわゆるcompressedな凸多面体についての基礎理論を構築することを念頭に置いて研究を継承した.その基盤となる作業仮説「一般の超単体はcompressedである」を証明することを基礎理論を構築するための突破口と考え,思索を重ねた結果,Birkhoff-von Neumann凸多面体に付随するtoricイデアルが任意の逆辞書式順序でsquarefreeなinitialイデアルを持つという顕著な成果を整数計画の枠内で捕らえることの有効性に到達した.一般に,凸多面体は有限個の不等式で定義されるが,それらの不等式がすべて等式になっている状況にしばしば遭遇する.我々が得た重要な成果の一つは「すべての頂点のすべての座標成分が0乃至1である凸多面体が等式によって定義されるならば,その凸多面体はcompressedである」という至って簡潔な定理であるが,その波及する効果は絶大である.第1点として,その直接の帰結として懸案であった上記作業仮説が直ちに証明できることが挙げられる.第2点として,perfectな有限グラフの理論を借用すると,たとえば,純な有限半順序集合に付随する凸多面体がcompressedであるという鮮やかな結果が瞬時に従う.第3点として,当該定理の仮定で要求される等式の部分はいささか工夫を施すことによって,適当な条件を満たす不等式に置き換えることが可能である.その結果,有限半順序集合から構成される順序凸多面体などの類についても当該定理が有効となり,compressedな凸多面体の著名な類を大量に生産することが可能となる.将来的には,第2点で触れた perfect な有限グフラフについての永年の予想(強perfectグラフ予想)の解決に向けて,我々の構築しつつある理論の応用を探ることも重要な課題である.

Pp.47-53 11 は, い わ ゆ る compressed な convex polyhedron に つ い て の basic theory を build す る こ と を thought に buy い て research を 継 bearing し た. そ の base plate と な る homework 仮 said "general の super 単 は compressed で あ る" を prove す る こ と を basic theory を build す る た め の breach と え, thinking を heavy ね た results, Birkhoff - von Neumann convex polyhedron に pay with す る toric イ デ ア ル が arbitrary の inverse dictionaries sequence で squarefree な initial イ デ ア ル を hold つ と い う 顕 the な results を integer plan の 枠 で in trap ら え る こ と の have sharper sex に reach し た. Generally に, convex polyhedron は finite の inequality で definition さ れ る が, そ れ ら の inequality が す べ て equation に な っ て い る condition に し ば し ば encounter す る. I 々 た が important な results の a つ は "す べ て の vertex の す べ て の coordinates component が 0 and 1 で あ る convex polyhedron が equation に よ っ て definition さ れ る な ら ば, そ の convex polyhedron は compressed で あ る" と い う to っ て concise な theorem で あ る が, そ の affected す る unseen fruit は most で あ る. 1 point と し て, そ の directly の 帰 knot と し て unsolved で あ っ た written homework 仮 said が straight ち に prove で き る こ と が 挙 げ ら れ る. Point 2 と し て, perfect な limited グ ラ フ の theory を borrow す る と, た と え ば, pure な limited set に pay half order with す る convex polyhedron が compressed で あ る と い う fresh や か な results が instantaneous に 従 う. Point 3 と し て, when the theorem の 仮 で requirements さ れ る equation の part は い さ さ か time を shi す こ と に よ っ て, appropriate を な conditions against た に buy き す inequalities in え る こ と が may で あ る. そ の results, limited half order collection か ら constitute さ れ る sequential convex polyhedron な ど の class に つ い て も が have sharper when the theorem と な り, compre ssedな convex polyhedra な famous な class を mass に production する とが とが possibly となる. Future に は, 2 points touch で れ た perfect な limited グ フ ラ フ に つ い て の YongNian の to think (strong perfect グ ラ フ to think) に の solution to け て, I 々 の build し つ つ あ る theory の 応 with を agent る こ と も important topic な で あ る.

项目成果

A. Aramova: "Squarefree lexsegment Edeals" Math. Z. 228. 353-378 (1998)

A. Aramova：“Squarefree lexsegment Edeals”数学。

N.Terai: "Finite tree resolutions and '1-skeletans of simplical complexes" Journal of Algebraic Conbinatorics. 6. 89-93 (1997)

N.Terai：“有限树解析和单纯复形的 1-骨架”代数组合学杂志。

H.Ohsugi,T.Hibi: "Toric ideals generated by Quadratic binomials"J. Algebra. 218. 509-527 (1999)

H.Ohsugi，T.Hibi：“由二次二项式生成的环理想”J。

T. Hibi: "A comparability graph of a modular lattice" Combinatorica. (出版予定). (1999)

T. Hibi：“模块化格子的可比图”Combinatorica（即将出版）。

H.Ohsugi,T.Hibi: "Koszul bipartite graphs"Advances in Applied Math,. 22. 25-28 (1999)

H.Ohsugi，T.Hibi：“Koszul 二分图”应用数学进展，。