曲面上の錐状特異点をもつ平坦構造のモジュライ空間

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曲面上の錐状特異点をもつ平坦構造のモジュライ空間について,今年度も昨年度に引続き,超楕円曲線の場合の平坦構造のモジュライ空間およびそのタイヒミュラー空間について研究を行った.平面上の多角形からそのある種のダブルをとることによって閉曲面を構成することができるが,この閉曲面は自然に錐状特異点をもつ平坦構造を許容している.しかもそれは平面を複素平面と同一視することにより自然に複素曲線と見なすことができ,さらにその構成法から複素曲線としては位数2の正則自己同型をもつことから超楕円曲線になっていることがわかる.このとき,この超楕円曲線のタイヒミュラー空間と平面上の多角形のモジュライ空間が(種数と多角形の辺の数を固定した上で)同じ次元をもつこと,また多角形の退化と超楕円曲線の退化が丁度対応することから,双方の空間が同型,すなわち超楕円曲線のタイヒミュラー空間が,平面多角形によってパラメタ付けられるという予測が自然と導かれた.この予測にもとづいて,多角形のモジュライ空間の適当な定義が必要となる.今年度は昨年度得られた4角形の場合の定義を考察することにより,5角形の場合にもそれが拡張することを考察した.実際に,5角形において最も複雑である星型の場合にも,対応する超楕円曲線があることを示した.このとき用いたのは,昨年度と同様,多角形のモジュライ空間と超楕円曲線のタイヒミュラー空間を結びつける役割を果たす,球面上の錐状特異点をもつ平坦構造のモジュライ空間である.特に標識付き平坦構造という概念を導入した結果,超楕円曲線の自己同型類群の超楕円曲線のタイヒミュラー空間への作用が,標識付き平坦構造のモジュライ空間の上に誘導され,さらに平面多角形のモジュライ空間への作用の記述を可能にした.また,超楕円曲線とは限らないリーマン面と多角形との関係については,リーマン面上の正則1形式を用いることにより,錐状特異点をもつ平坦構造を対応させ,正則1形式の特異点の組み合わせ構造を考察することにより超楕円曲線と同様の議論が成り立つことを考察した.