3次元多様体、特に3次元空間内の結び目や絡み目の幾何的及び代数的研究

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3次元空間内の任意の結び目は閉ブレイド表示を持つ.閉ブレイドは結び目を研究する上で最も基本的かつ重要であるが,それだけではなく,標準的接触構造を持つ3次元空間内の横断的結び目と密接な関係を持つ.私が取り組んでいる横断的結び目の分類問題についても例外ではなく,閉ブレイドの単純化の問題の解決は分類問題解決にあたって必須である.この問題は任意に与えられた閉ブレイド表示を,ブレイド指数を上げることなく,最小のブレイド指数をもつブレイド表示まで変形させることを扱う問題である.しかしながらこの問題も横断的結び目の分類問題同様,ごく限られた類についてしか解決されていない.今年度は平坦的擬アノソフ型の閉3ブレイドについてこの単純化問題に取り組み,これまでに使われた手法を駆使することで,問題を解決することができた(論文は作成中).閉ブレイドの研究に際しては,3次元空間の$z$-軸を共有する半平面による葉層構造を考え,その葉達と閉ブレイドが張る曲面との交差を解析するという手法が有効である.ここで,擬アノソフ型の閉3ブレイドについては分岐曲面を扱うのが本質であるが,これまでに知られているのは円盤や輪環面といった2次元多様体に限られていた.研究期間を通して開発した分岐曲面理論は今回の平坦的擬アノソフ型の閉3ブレイドの単純化問題の解決に留まらず様々な応用が期待される.さらに上記問題に取り組む上で開発された技術を応用することで,自明な結び目の概交代正則図形を決定することができた(論文は投稿中).