アフィン量子群の有限次元表現,及び,その結晶基底に関する研究

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gをsimply-lacedなアフィン・リー代数,ωをgのディシキン図形のグラフ自己同型,g^^^を(g,ω)に付随した軌道リー代数,すなわち,gのディンキン図形をωで"折り畳んで"得られる(アフィン型の)ディンキン図形に付随したアフィン・リー代数とする.U_q, U^^^_qをそれぞれg, g^^^に対応する量子アフィン代数とし,U^1_q⊂U_q, U^^^^1_q⊂U^^^_qを次数作用素を取り除いた部分代数とする.平成16年度に,U^1_qのKirillov-Reshetikhin加群(KR加群)が結晶基底を持つとき,その結晶基底のグラフ自己同型ωの作用に関する固定点集合は,U^^^^1_qの完全結晶になることを証明した(この固定点による結晶はU^^^^1_qのKR加群の結晶基底と同型になると考えられている).今年度は,この結果に関連して,量子アフィン代数の有限次元表現に関連した種々の結晶へのグラフ自己同型の作用を考察し,以下の結果を得た.なお,これらは内藤聡氏(筑波大学)との共同研究である.得られた結果.λをgの"対称な"整ウエイトとし,λ^^^をλに対応するg^^^の整ウエイトとする.(1)β(λ),β^^^(λ^^^)を,それぞれ,λ,λ^^^をエクストリーマル・ウエイトとする(U_q上,およびU^^^_q上の)エクストリーマル・ウエイト加群の結晶基底とする.β(λ)のグラフ自己同型ωの作用に関する固定点集合β^0(λ)は,U^^^_qの結晶になる.さらに,β^0(λ)は(U^^^_qの結晶として)β^^^(λ^^^)と同型となる.(2)B(λ)_ci, B^^^(λ^^^)_ciを,それぞれ,λ,λ^^^を型とする(U^1_q,およびU^^^^1_qに対する)Lakshmibai-Seshadriパス全体のなす結晶とする.B(λ)_ciのグラフ自己同型ωの作用に関する固定点集合B^0(λ)_ciは,U^^^^1_qの結晶になる.さらに,B^0(λ)_ciは(U^^^^1_qの結晶として)B^^^(λ^^^)_ciと同型になる.