K3曲面とエンリケス曲面の研究

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1.昨年度からの続きで、一般のヤコビアンクンマー曲面の上の自由対合を分類した。結果として現れた3種類の対合それぞれの場合に、貼り合わせ部分群と呼ばれる不変量がHudsonらによる古典射影幾何と結びついたことは非常に美しい。また、HW対合を用いて初めて、自己同型群の生成系とLeech格子の幾何の完全な対応が得られることも示した。これらの結果について論文にまとめ、受理された(項目11)。以前に発表した論文"On the number of Enriques quotients of a K3 surface"と合わせると、もともとの問「K3曲面とエンリケス曲面の対応を偏極を除き考えるとどうなるか?」については非常に精密に全体像が浮かび上がったように思う。即ち、対応の有限性と非有界性、非自明ないくつかの例、さらにこの例が古典射影幾何や現代の格子論とつながるということまでを明らかにすることができた。2.上におけるHG対合が重みつき射影空間内に実現できるという事実を知り、一般に重みつき射影空間の中のK3超曲面とその上の非シンプレクティック対合のペアについて考えた。K3超曲面についてはM.Reidによる95種類の表があるが、その中でクレモナ対合の作用を許すものはわずか7種類しか得られないことがわかった。だが少なくともこれらの場合にはエンリケス曲面が得られると期待している。一つの場合には特異点や曲面上の曲線を丁寧に計算することで、実際エンリケス曲面が得られることを示した。3.標数11のK3曲面上の昨年度の定理を精密化した。以前は球充填の理論を用いた、整切断の存在証明だったが、今年度はコンピューターによる計算に適当な数学的考察を合わせることですべての整切断を求めてしまえるということを示した。問題とされる切断をモーデルヴェイユ群の中で特徴付けることもできた。さらに、明示的な解があるため、孤立固定点付近での挙動の計算が可能になったことも、大きな進歩である。