特異性を持つ確率偏微分方程式の研究

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様々な特異性のある確率偏微分方程式、特に確率熱方程式、確率Burgers方程式、確率分数階偏微分方程式などに関する解の存在と一意性、正規性やエルゴート性などについての研究を確率的手法で遂行している。一次元の加法過程の分布をある作用素に関する確率偏微分方程式の不変速度となる新たなノイズの構成やこのような偏微分方程式の解の時空の正規性の研究を取り組んだ。このような研究はホワイトノイズの加わった熱方程式についての自然的な拡張であるが、新たなノイズの構成は難点だ。Levyノイズで摂動されたヒルベルト空間に値を取る無限次元確率方程式の長時間にわたるふるまいを考察した。最近はLevyノイズに関する研究は注目を浴び、アクティブな課題となったが、エルゴード性の研究は少ない。解の不既約性などを調べ、不変測度の一意性の証明を示した。この研究で得られた結果を東京大学研究集会で講演を行った。イギリスの確率偏微分方程式研究者と共同研究でLevy時空ノイズに関する広義Burgers方程式の解の爆発的時間を考察した。さらに、Levy型作用素の核の評価を調べ、解の空間連続性にも着手した。瞬間力のノイズを加える分数階確率方程式の性質も考えた。瞬間力のノイズとは空間でランダムな外力が受けられる揺らぎであり、最近導入されたノイズである。このような方程式の解の存在と一意性であること証明した。これに関連する研究は来年度も引き続き行い、エルゴード性などの性質であることを期待する。