Canonical Heights on Hyperelliptic Jacobians

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Hintergrund des Projekts ist die Frage nach rationalen Punkten auf hyperelliptischen Kurven, d.h. die Frage nach Lösungen einer Gleichung y2 = f(x) in rationalen Zahlen, wobei f ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und ohne mehrfache Nullstellen ist. Diese Gleichung beschreibt eine hyperelliptische algebraische Kurve C vom Geschlecht g, wobei 2g + 1 oder 2g + 2 der Grad von f ist. Wenn g > 2 ist, dann hat C nur endlich viele rationale Punkte. Ein wichtiges Hilfsmittel, diese Punkte zu bestimmen, ist die Jacobische Varietät J von C; das ist eine g-dimensionale abelsche Varietät: eine projektive Varietät mit Gruppenstruktur. Ihre Gruppe von rationalen Punkten J(ℚ) ist endlich erzeugt. Die kanonische Höhe ist eine auf dem freien abelschen Quotienten von J(ℚ) positiv definite quadratische Form, die die ”Größe“ der Punkte misst. Sie ist ein unentbehrliches Hilfsmittel für verschiedene theoretische und praktische Fragestellungen, insbesondere für die Berechnung von Erzeugern der Gruppe J(ℚ).Ziel des Projekts ist es, aufbauend auf vorhandenen Kenntnissen und Verfahren im Fall g = 2 zunächst in diesem Fall zu einem tieferen Verständnis und damit gleichzeitig zu effizienteren Berechnungsmethoden der kanonischen Höhe zu gelangen. Ausgerüstet mit diesem tieferen Verständnis sollen die Methoden dann auf hyperelliptische Jacobische von höherem Geschlecht erweitert werden. Damit wäre es dann erstmalig möglich, Mordell-Weil-Gruppen J(ℚ) auch für g > 3 in größerem Umfang zu bestimmen.