A study on the no-arbitrage condition and completeness of market models based on infinite dimensional stochastic analysis

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当該年度では、非指数型割引関数で表される時間選好を持つ投資家の効用最大化問題を念頭に置いた確率制御問題、及び関連する後退確率積分方程式に関する研究を行った。このような確率制御問題は、Bellmanの原理が成立せず、一般には時間非整合であることが知られている。時間非整合な確率制御問題では、初期時点で定めた最適戦略に従って行動しても、ある将来時点ではその戦略を変更する動機を持つため、古典的な「最適戦略」は動的な観点からは合理的ではないと考えられる。このような問題において最適戦略に取って代わる合理的な行動指針を与えるため、ゲーム理論の考え方を応用した「ナッシュ均衡戦略」を解析することは、最新の確率制御理論における最も重要なトピックの一つである。上述の背景を念頭に、当該年度では,時間非整合的な再帰的効用最大化問題への応用を念頭に、一般の再帰的コスト関数に関する時間非整合的確率制御問題を考えた。本研究では、後退確率Volterra積分方程式(backward stochastic Volterra integral equation; BSVIE)の解によって再帰的コスト関数を定義した。この設定は、時間整合的な問題における後退確率微分方程式を用いた再帰的コスト関数の定義の時間非整合的な問題への拡張である。本研究では、制御過程(戦略)の摂動に関するBSVIEの変分に着目し、最大原理に基づく随伴方程式を導くことによって、ナッシュ均衡戦略を特徴付けた。この随伴方程式は拡張型BSVIEと呼ばれる形の方程式である。本研究の成果をまとめた論文を学術雑誌に投稿し、査読を経て掲載が決定した(Math. Control Relat. Fields,11 (2), pp: 197--242, 2021)。また、本研究成果を国内の研究集会で発表した。