汚染物質の拡散の推定と予測のための逆問題の数学手法の開拓

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令和 4 年度はコロナの感染状況が好転し、計画していた出張や研究打合せが完全でないもののかなりの程度まで回復した。そのような状況を受けて以下のように本研究を遂行した。（１）土壌中の汚染物質の拡散などの現象は、不均質媒質中の特異拡散ととらえることができる。そのためのモデル式は色々提案されているが、ここでは時間方向に履歴の効果を考慮した非整数階拡散方程式を主要なモデル式としている。方程式は非整数階微分を含むので、伝統的な微分積分学の枠組みではなく非整数階微分積分学を近代的な関数解析的な偏微分方程式論に見合う形で完成させる必要がある。そのような基礎付けは必ずしも一通りとは限らないが、近代的偏微分方程式論に適合し、そのうえで応用にも適した理論を独自に構築し、公表した。（２）そのようなアプローチを補完するものとして、より作用素論に基づいた非整数階偏微分方程式論をナンシー・ロレーヌ大学（フランス）の Mourad Choulli 教授と今年度も遂行した。（３）本課題の遂行のためには、モデル式の物理パラメータの定量的な推定のために、方程式の係数やソース項を解の限定された情報で決定するという逆問題が必要不可欠になる。非整数階偏微分方程式の逆問題は現象の多様性を直接反映し、多岐にわたる。そのような逆問題について連続講義をバーリ（イタリア）で行い、研究計画の今後のグランドデザインの展望を示した。（４）非整数階偏微分方程式の非線形理論の構築を開始した。