Mathematical analysis of inverse problems and modelling for complex fluids and diffusion in heterogeneous media

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１．一般論展開を専ら目指して研究が蓄積されてきたカーレマン評価の理論を、これまでの本研究によって偏微分方程式の逆問題への応用のために調整しなおしたが、それを活用して課題となっている複雑流体などの数理物理に現れる偏微分方程式の空間変数に依存する係数や外力項を限定された解のデータによって決定する逆問題の一意性、安定性を確立しつつある。カーレマン評価に基づく方法論も本研究の枠組みで確立しており、順調に研究が進行している。２．上記の研究遂行の上で、特に偏微分方程式が波動など、有限伝播速度を持つ場合にカーレマン評価を証明するために、物理的にも数学的にも方程式の主要部の係数にある種の条件が必要不可欠である。そのような条件を、課題となっている逆問題の物理的な背景と合致するように定式化し証明した。３．本研究計画の枠組みで確立した非整数階偏微分方程式論に基づき、非整数階偏微分方程式の初期値・境界値問題について、解の一意存在はいうまでもなく、比較原理などの基本性質の理論を確立した。それらを応用して、非整数階偏微分方程式の非線形理論の構築を本格的に開始し、時間大域解の非存在、解の漸近挙動などで論文をまとめた。４．３の成果も活用して、係数決定、ソース項決定、階数などの物理パラメータ決定の逆問題の数学解析を実施し、成果をあげた。特に、非整数階偏微分方程式について、放物型方程式と比べて弱い平滑化の作用を反映して、解の観測データに階数や外力項などの情報がよりよく保存されていることを利用して、放物型方程式の対応する逆問題と比較して、はるかに強い一意性の結果を証明した。５．関連する非線形非整数階偏微分方程式の定性理論や数値手法の研究を行った。