ベクトル束のモジュライの研究

最近の研究で楕円ファイバー構造を持つ曲面上のベクトル束のモジュライ空間はよい性質を持ち、またかなり有用である事が分かってきた。例えばアーベル曲面上の階数2のベルトル束がなすモジュライ空間の場合、アーベル曲面を楕円曲線の直積に変形することにより、ベッチ数を計算できることがわかっている。今年度は階数が一般の場合にモジュライ空間の既約性や双有理的構造を調べた。特にそのことからデルペソ曲面上の単純なトーションフリー層のモジュライ空間の既約性を示した。既約性は半安定層のモジュライ空間の局所分解性や普遍族の存在性とも関係があり、意味のある事と思われる。また第一チャーン類に関するある条件のもと、モジュライ空間の有理性を示すことができた。この事実を示すことが、楕円ファイバー構造を持つ場合を扱ったひとつの動機となっている。更にアーベル曲面上のモジュライ空間の場合には第一チャーン類に関するある条件のもとピカ-ル群やアルバネ-ゼ写像を決定できた。この結果自体は線織面の場合の結果から予想できるものであるが、逆に線織面の場合の定式化が一般性をもつことを示唆しており意味のある事である。さて今度はアーベル曲面上のベクトル束をさらに詳しく解析するつもりである。アーベル曲面やK3曲面の場合はフーリエ-向井変換という重要な操作があるので、それとの関連も調べたい。なお階数を一般にするのは、フーリエ-向井変換では階数はそんなに意味があるものではなく、向井ベクトルの長さのみが本質的な量だからである。

最近の研究で楕円ファイバー構造を持つ曲面上のベクトル束のモジュライ空間はよい性質を持ち、またかなり有用である事が分かってきた。例えばアーベル曲面上の階数2のベルトル束がなすモジュライ空間の場合、アーベル曲面を楕円曲線の直積に変形することにより、ベッチ数を計算できることがわかっている。今年度は階数が一般の場合にモジュライ空間の既約性や双有理的構造を調べた。特にそのことからデルペソ曲面上の単純なトーションフリー層のモジュライ空間の既約性を示した。既約性は半安定層のモジュライ空間の局所分解性や普遍族の存在性とも関係があり、意味のある事と思われる。また第一チャーン類に関するある条件のもと、モジュライ空間の有理性を示すことができた。この事実を示すことが、楕円ファイバー構造を持つ場合を扱ったひとつの動機となっている。更にアーベル曲面上のモジュライ空間の場合には第一チャーン類に関するある条件のもとピカ-ル群やアルバネ-ゼ写像を決定できた。この結果自体は線織面の場合の結果から予想できるものであるが、逆に線織面の場合の定式化が一般性をもつことを示唆しており意味のある事である。さて今度はアーベル曲面上のベクトル束をさらに詳しく解析するつもりである。アーベル曲面やK3曲面の場合はフーリエ-向井変換という重要な操作があるので、それとの関連も調べたい。なお階数を一般にするのは、フーリエ-向井変換では階数はそんなに意味があるものではなく、向井ベクトルの長さのみが本質的な量だからである。