ベクトル束のモジュライ空間と可積分系

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研究計画事項(2)の進展について報告する。ピカール群が反標準束で生成され、種数gが6以上のファノ多様体のモジュライ空間F_gの境界に含まれる因子の一般点に対応する特異ファノ多様体Xの性質、特にその反標準モデルと周期を研究した。Xが通常2重点Pを1個もつ場合に限る。反標準モデルの曲線切断をCで、一般化された意味での中間次元ヤコビ多様体をJXで表す。1.P(の局所環)が一意分解的なとき、CはXが非特異なときと同じ型の特殊因子しかもたず、反標準モデルも同じ記述が出来る。しかし、JXはアーベル多様体でなくなる。即ち、Xは特殊因子に関しては一般だが、周期は退化する。種数が7,8,9,10のとき、特異点Pからの2重射影は有理的な3次元ファノ多様体P^3、Q^3、V_4、V_5への双有理写像になる。種数が12のときはこの種の退化は存在しない。2.Pが一意分解的でない場合は、上と逆で、JXはアーベル多様体のままであるが、曲線CはBrill-Noether数が負の特殊因子をもつ。基本例はCのgonalityが一般の場合より一つ小さい場合である。この例で種数が偶数のとき、Xは次数がd=g/2-1の非特異3次元del Pezzo多様体V_dと同型になる。基本例以外では次の特殊因子をもつ場合が見つかる。種数9、12でCが4角的な(g^1_4をもつ)とき、XをPでblow-upしたものはピカール数3の非特異ファノ多様体である。種数9の場合は、中間次元ヤコビ多様体は種数3の曲線γのヤコビ多様体と同型であるが、この4角的退化はγが平面4次曲線から超楕円曲線に変形することと対応していて興味深い。なお、次はこれからの課題として残った。問題 モジュライ空間F_gや周期写像のファイバーの境界因子は上で見つけたもので尽きているか?(種数8,9,10のとき3個づつで、12のとき4個)