特異点理論の情報幾何学への応用探究～《特異モデルの情報幾何学》の創設

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本研究の目的は，特異モデルの情報幾何学に当たる概ヘッセ多様体の理論を用いた統計科学・情報科学への応用可能性を検討すること，およびその理論深化を行うことであった．本年度は以下の課題について取り組んだ．（１）概ヘッセ多様体の計量の退化を引き起こす特異点についての特徴づけ：この特異点は概ヘッセ多様体に備わる波面の特異点として捉えることができ，波面に現れる典型的な特異点の標準形をアファイン座標系において導出した．この標準形は特異点周りの情報幾何的（アファイン微分幾何的）解析を可能とするものである．また，そのような特異点の存在条件を概ヘッセ多様体上の正準ダイバージェンスにより与えた．この条件式は概ヘッセ多様体上の幾何学と統計多様体の幾何学との関連を示唆するものである．以上の結果を論文としてまとめた．（２）拡大マルコフモデルの幾何学について：統計学で用いられるマルコフモデルの情報幾何学的な構造は長岡浩司氏（電気通信大学名誉教授）・竹内純一氏（九州大学）らによって研究されており，特に竹内氏の導入した拡大マルコフモデルは退化したフィッシャー計量を持つ空間である．大本亨氏（早稲田大学）と金野聖平氏（北海道大学院生）との共同研究により拡大マルコフモデルに概ヘッセ構造が入ることを示し，そのポテンシャル関数の陽的な表示を与えた．また，拡大マルコフモデルには情報幾何学における正測度空間の理論に基づく双対平坦構造が入ることが期待され，現在はこの方向性の検討を行なっている．