代数解析の特異点理論への応用

点击翻译按钮获取中文摘要

D-加群や層の超局所解析などの代数解析の手法を用いて、代数幾何や複素特異点理論などを研究した。今年度はまず東京大学院生の松井優氏と共同で、射影代数多様体とその双対多様体あいだのトポロジーの対称性に関して様々な研究結果を得た。より詳しくは、射影代数多様体の超平面切断の位相と元の多様体の特異性の関係や、双対多様体の代数的次数を求める公式に関して詳しい研究を行った。特に双対多様体の次数については、従来の理論では扱いが非常に難しかった余次元が大きい場合や、元の多様体の特異点集合の次元が大きい場合にも適用可能な公式を見出し、BrylinskiやGelfandらが研究しているより高次の双対多様体の場合にも結果を拡張した。これらは、従来の解析的ラドン変換とは異なる位相的ラドン変換を、柏原-Schapiraによる層の超局所解析の理論や、特異多様体の特性類の理論の最近の成果を用いて研究することにより得られた。また新しい研究テーマとして、構成可能層のLefschetz型不動点公式についての研究を開始し、Goresky-MacPherson, Abate-Bracci-Tovenaらの結果を部分的に拡張する結果を得た。さらに柏原による構成可能層にたいする指数定理を、群作用付きの構成可能層(同変層)に拡張した指数定理を得て、不動点集合の次元が高い場合のLefschetz型不動点公式に応用した。これらの研究の結果、交叉コホモロジー群や特異点を持っ実や複素の代数多様体にたいするLefschetz型不動点公式が特に得られている。